Homomorfismos de grupos

Proporcionamos ejercicios sobre homomorfismos de grupos.

TEORÍA

1  Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=ax$ con $a\in\mathbb{R}$ fijo es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$

SOLUCIÓN

2  Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=a^x$ con $a>0$ real fijo es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}-\{0\},\cdot).$

SOLUCIÓN

3  Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=a+x$ con $a$ número real fijo. Analizar si $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$

SOLUCIÓN

4  Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\log x.$ Demostrar que $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ y $(\mathbb{R},+).$

SOLUCIÓN

5  Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Sea $e$ el neutro de $G$ y $e’$ el neutro de $G’.$ Demostrar que,
$(i)$ $f(e)=e’.$
$(ii)$ Para todo $x\in G$ se verifica $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}.$

SOLUCIÓN

6  Demostrar que la composición de homomorfismos de grupos es un homomorfismo.

SOLUCIÓN

7  Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. En $G=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$ se define la operación $(x,y)*(z,u)=(xz,yu).$
$(i)$ Demostrar que $(G,*)$ es grupo abeliano.
$(ii)$ Demostrar que la aplicación: $f:G\to \mathbb{R},$ $f(x,y)=\log (xy)$ es homomorfismo entre los grupos $(G,*)$ y $(\mathbb{R},+).$

SOLUCIÓN
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