Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos

Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos.

TEORÍA

1  Sea $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ el grupo multiplicativo de los números reales no nulos. Demostrar que $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*,\;f(x)=x^2$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ y $(\mathbb{R}^*,\cdot).$ Determinar $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$

SOLUCIÓN

2  Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Demostrar que $\ker f$ es subgrupo normal de $G.$

SOLUCIÓN

3  Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Demostrar que $\operatorname{Im}f$ es subgrupo de $G’.$

SOLUCIÓN
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