Clasificación de homomorfismos de grupos

Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de homomorfismos de grupos.

TEORÍA

1  Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo de grupos. Demostrar que $f$ es monomorfismo $\Leftrightarrow$ $\ker f=\{e\},$  siendo $e$ el neutro de $G.$

SOLUCIÓN

2  Clasificar los siguientes homomorfismos:
$(i)$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=ax$  ( $a\in\mathbb{R}$ fijo ), entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$
$(ii)$ $g:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R},$ $g(x)=\log x.$  entre los grupos $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ y $(\mathbb{R},+).$

SOLUCIÓN

3  Clasificar los siguientes homomorfismos:
$(i)$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;f(x)=e^x$, entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}-\{0\},\cdot)$
$(ii)$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+,\;g(x)=e^x,$ entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}^+,\cdot)$  ($\mathbb{R}^+$ es el conjunto de los reales positivos).

SOLUCIÓN
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