Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos

Proporcinamos ejercicios sobre la descomposición canónica de un homomorfismo de grupos.

TEORÍA

1  Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Demostrar que:
1.  $n:G\to G/\ker f,\; n(x)=x\ker f$ es epimorfismo.
2.  $g:G/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x\ker f)=f(x)$ es isomorfismo.
3.  $i:\operatorname{Im}f\to G’,\;i(x)=x$ es monomorfismo.
4.  $f=i\circ g\circ n.$

SOLUCIÓN

2  Sea $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ el grupo multiplicativo de los números reales no nulos y $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*$ la aplicación $f(x)=x^2$. Se pide:
1.  Demostrar que $f$ es un homomorfismo de grupos.
2.  Hallar $\ker f$ e $\textrm{Im}\;f$.
3.  Determinar el conjunto cociente $\mathbb{R}^*/\ker f$.
4.  Efectuar la descomposición canónica de $f$.

(Propuesto en examen, ETS de Ing. Agrónomos, UPM).

SOLUCIÓN
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