Polinomio de Taylor

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de polinomio de Taylor.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar el polinomio de Maclaurin $p(x)$ de orden $5$ para la función $f(x)=\operatorname{sen}x.$
  2. Hallar el polinomio de Taylor $p(x)$ de orden $3$ en $x_0=\pi$ para la función $f(x)=\cos x.$
  3. Hallar el polinomio de Maclaurin $p(x)$ de orden $n$ para la función $f(x)=\dfrac{1}{x+1}.$
  4. Obtener el polinomio de Taylor de orden $ 3 $ centrado en $ x=0 $ de la función $ f(x)=\arctan x. $
    Solución
  1. Tenemos: $$\begin{aligned}&f(x)=\operatorname{sen} x\Rightarrow f(0)=0,\\
    &f’(x)=\cos x\Rightarrow f’(0)=1,\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-\operatorname{sen}x\Rightarrow f”(0)=0,\\
    &f^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x\Rightarrow f”’(0)=-1,\\
    &f^{(4)}(x)=\operatorname{sen}x\Rightarrow f^{(4)}(0)=0,\\
    &f^{(5)}(x)=\cos x\Rightarrow f^{(5)}(0)=1.
    \end{aligned}$$ Por tanto, el polinomio pedido es:
    $$\begin{aligned}p(x) &= f(0)+ \dfrac{f’(0)}{1!}x+ \dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+ \cdots+ \dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5\\
    &=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\\
    &=x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^3.\end{aligned}$$
  2. Tenemos: $$\begin{aligned}
    &f(x)=\cos x\Rightarrow f(\pi)=-1,\\
    &f’(x)=-\operatorname{sen}x\Rightarrow f’(\pi)=0,\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-\cos x\Rightarrow f”(\pi)=1,\\
    &f^{(3)}(x)=\operatorname{sen}x\Rightarrow f^{(3)}(\pi)=0.
    \end{aligned}$$ Por tanto,
    $$\begin{aligned}
    p(x) &= f(\pi)+ \dfrac{f’(\pi)}{1!}(x – \pi)+ \dfrac{f^{(2)}(\pi)}{2!}(x -\pi)^2+ \dfrac{f^{(3)}(\pi)}{3!}(x – \pi)^3\\
    &=-1+\dfrac{1}{2}(x -\pi)^2.
    \end{aligned}$$
  3. Hallemos las primeras derivadas de $f:$ $$\begin{aligned}&f(x)=(x+1)^{-1}\Rightarrow f(0)=1=0!,\\
    &f’(x)=-(x+1)^{-2}\Rightarrow f’(0)=-1!,
    \\&f^{\prime\prime}(x)=2(x+1)^{-3}\Rightarrow f”(0)=2=2!,
    \\&f^{(3)}(x)=-6(x+1)^{-4}\Rightarrow f^{(3)}(0)=-6=-3!,\\
    &f^{(4)}(x)=24(x+1)^{-5}\Rightarrow f^{(3)}(0)=24=4!.\end{aligned}$$ Fácilmente podemos demostrar por inducción que $f^{(n)}(0)=(-1)^{n}n!,$ por tanto: $$\begin{aligned}p(x) &= f(0)+ \dfrac{f’(0)}{1!}x + \dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 +\cdot + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\
    &=1-x+x^3-x^4+\cdots +(-1)^nx^n.\end{aligned}$$
  4. Tenemos $$\begin{aligned}&f(x)=\arctan x,\\
    &f’(x)=\dfrac{1}{1+x^2},\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-2\;\dfrac{x}{(1+x^2)^2},\\
    &f^{\prime\prime\prime}(x)=-2\;\dfrac{(1+x^2)^2-2(1+x^2)2x(x)}{(1+x^2)^4}=-2\;\dfrac{1-3x^2}{(1+x^2)^3}.\end{aligned}$$ Particularizando en $ x=0 :$ $$ f(0)=0,\;f’(0)=1,\;f^{\prime\prime}(0)=0,\;f^{\prime\prime\prime}(0)=-2.$$ En consecuencia, el polinomio pedido es: $$ p(x)=f(0)+\dfrac{f’(0)}{1!}x+\dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3=x-\dfrac{x^3}{3} .$$
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