Series complejas: conceptos básicos

Se definen los conceptos de convergencia y suma de serie de números complejos de manera análoga a la de números reales.

    Enunciado
  1. (Condición necesaria para la convergencia de una serie). Demostrar que si la serie compleja $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente, entonces $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0.$
  2. (Serie geométrica). Se considera la serie geométrica $$\sum_{n=0}^{+\infty}z^n=1+z+z^2+z^3+\cdots\quad (z\in\mathbb{C}).$$ Demostrar que
    $a)$ Es convergente si, y sólo si $\left|z\right|<1.$
    $b)$ Si es convergente, su suma es $S=\dfrac{1}{1-z}.$
  3. (Álgebra de series). Supongamos que las series $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ son convergentes de sumas respectivas $U$ y $V.$ Demostrar que
    $a)$ La serie suma $\sum_{n=1}^{+\infty}(u_n+v_n)$ es convergente con suma $U+V.$
    $b)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{C},$ la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda u_n$ es convergente con suma $\lambda U.$
  4. Hallar la suma de la series
    $a)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n.\quad b)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{1+i}\right)^n.\quad c)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(i\left(\frac{1}{2}\right)^n+5\left(\frac{1}{1+i} \right)^n\right).$
  5. Sea $u_n=u’_n+iu_n^{\prime\prime}$ el término general de una serie ($u’_n,u_n^{\prime\prime}\in\mathbb{R}$).
    $(i)$ Demostrar que para que la serie de término general $u_n$ sea convergente, es necesario y suficiente que las series de término general $u’_n$ y $u_n^{\prime\prime}$ lo sean.
    $(ii)$ Demostrar además, si $S,$ $S’$ y $S^{\prime\prime}$ representan las sumas de estas tres series, se verifica $S=S’+iS”.$
  6. (Criterio de Cauchy para la convergencia de series). Sea $u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$ una serie de números complejos. Demostrar que para que sea convergente es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente condición:
    Para todo $\epsilon>0$ existe un número natural $N$ tal que $$n\geq m\geq N\Rightarrow \left|u_m+u_{m+1}+\cdots+u_n\right|<\epsilon.$$
    Solución
  1. Por hipótesis existe $S=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}S_n$ y dicho límite es finito. Por otra parte. $u_n=S_n-S_{n-1}$ para todo $n\geq 2,$ por tanto: $$\lim_{n\to +\infty}u_n=\lim_{n\to +\infty}\left(S_n-S_{n-1}\right)=\lim_{n\to +\infty}S_n-\lim_{n\to +\infty}S_{n-1}=S-S=0.$$
  2. El término enésimo de la serie es $u_n=z^{n-1}.$ Si $\left|x\right|\geq 1,$ también $\left|u^{n-1}\right|=\left|z\right|^{n-1}\geq 1.$ Es decir, $\{u_n\}$ no tiende a $0,$ lo cual implica que la serie no es convergente.
    Sea $\left|x\right|< 1.$ La suma parcial enésima es: $$S_n=1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}=\frac{z^n-1}{s-1},$$ por tanto, $S=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\frac{z^n-1}{z-1}=\frac{0-1}{z-1}=\frac{1}{1-z},$ finito.
    Quedan pues demostrados los apartados $a)$ y $b).$
  3. $a)$ Sean $U_n$ y $V_n$ las sumas parciales enésimas de las series dadas, respectivamente. Entonces la suma parcial enésima de la serie suma es $U_n+V_n.$ Tenemos $$\lim_{n\to+\infty}(U_n+V_n)=\lim_{n\to+\infty}U_n+\lim_{n\to+\infty}V_n=U+V,$$ es decir la serie suma es convergente con suma $U+V.$
    $b)$ La suma parcial enésima de la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda u_n$ es $\lambda U_n.$ Tenemos $$\lim_{n\to+\infty}\lambda U_n=\lambda\lim_{n\to+\infty}U_n=\lambda U,$$ es decir la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda u_n$ es convergente con suma $\lambda U.$
  4. $a)$ La serie es convergente y $\left|1/2\right|<1,$ por tanto es convergente de suma $$\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{1-1/2}=2.$$ $b)$ La serie es convergente y $\left|1/(1+i)\right|=1/\sqrt{2}<1,$ por tanto es convergente de suma $$\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{1+i}\right)^n=\frac{1}{1-1/(1+i)}=1-i.$$ $c)$ Usando los dos apartados anteriores y el teorema del álgebra de series: $$\sum_{n=0}^{+\infty}\left(i\left(\frac{1}{2}\right)^n+5\left(\frac{1}{1+i} \right)^n\right)$$ $$=i\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n+5\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{1+i}\right)^n$$ $$=i\cdot 2+5(1-i)=5+i.$$
  5. Sean $$S_n=u_1+\ldots+u_n,\;S’_n=u’_1+\ldots+u’_n,\;S_n^{\prime\prime}=u_1^{\prime\prime}+\ldots+u_n^{\prime\prime}.$$ Por un conocido teorema de sucesiones complejas, para que $S’_n$ tienda a $S’$ y $S_n^{\prime\prime}$ tienda a $S^{\prime\prime}$ es necesario y suficiente que $S_n$ tienda a $S’+iS^{\prime\prime},$ de donde resultan $(i)$ y $(ii).$
  6. Sea $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n.$ Se verifica para $n\geq m:$ $$\left|S_n-S_{m-1}\right|=\left|u_m+u_{m+1}+\cdots+u_n\right|,$$ luego la propiedad resulta del Criterio de Cauchy para sucesiones.
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