Series complejas: conceptos básicos

Se definen los conceptos de convergencia y suma de serie de números complejos de manera análoga a la de números reales.

1  (Condición necesaria para la convergencia de una serie). Demostrar que si  la serie compleja $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente, entonces $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0.$

SOLUCIÓN

2  (Serie geométrica). Se considera la serie geométrica $$\sum_{n=0}^{+\infty}z^n=1+z+z^2+z^3+\cdots\quad (z\in\mathbb{C}).$$ Demostrar que
$a)$ Es convergente si, y sólo si $\left|z\right|<1.$
$b)$ Si es convergente, su suma es $S=\dfrac{1}{1-z}.$

SOLUCIÓN

3  (Álgebra de series). Supongamos que las series $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ son convergentes de sumas respectivas $U$ y $V.$ Demostrar que
$a)$ La serie suma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(u_n+v_n)$ es convergente con suma $U+V.$
$b)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{C},$ la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda u_n$ es convergente con suma $\lambda U.$

SOLUCIÓN

4 Hallar la suma de la series
$a)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n.\quad b)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{1+i}\right)^n.\quad c)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(i\left(\frac{1}{2}\right)^n+5\left(\frac{1}{1+i} \right)^n\right).$

SOLUCIÓN

5  Sea $u_n=u’_n+iu_n^{\prime\prime}$ el término general de una serie ($u’_n,u_n^{\prime\prime}\in\mathbb{R}$).
$(i)$ Demostrar que para que la serie de término general $u_n$ sea convergente, es necesario y suficiente que las series de término general $u’_n$ y $u_n^{\prime\prime}$ lo sean.
$(ii)$ Demostrar además, si $S,$ $S’$ y $S^{\prime\prime}$ representan las sumas de estas tres series, se verifica $S=S’+iS”.$

SOLUCIÓN

6  (Criterio de Cauchy para la convergencia de series). Sea $u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$ una serie de números complejos. Demostrar que para que sea convergente es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente condición:

Para todo $\epsilon>0$ existe un número natural $N$ tal que $$n\geq m\geq N\Rightarrow \left|u_m+u_{m+1}+\cdots+u_n\right|<\epsilon.$$

SOLUCIÓN
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