Grupo de funciones matriciales

Estudiamos un grupo de funciones matriciales.

Enunciado
Sea $M$ el conjunto de las matrices reales $2\times 3.$ Sea $F$ el conjunto de las aplicaciones $f_{AB}:M\to M$ definidas por $f_{AB}(X)=AX+B$ donde $A$ es una matriz invertible  $2\times 2$ y $B$ una matriz $2\times 3.$

1. Calcular $(f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1})(X),$ y concluir probando que la composición de aplicaciones es una ley de composición interna en $F.$
2. Comprobar que la aplicación identidad $i:M\to M$ se puede considerar perteneciente a $F$ ¿para qué matrices concretas $A$ y $B$ es $f_{AB}=I$? Demostrar que $i$ es el elemento unidad de $F.$
3. Enunciar y demostrar la propiedad asociativa. Dar un contraejemplo para demostrar que no se cumple la propiedad conmutativa. Es decir, encontrar cuatro matrices para las cuales $f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1}\neq f_{A_1B_1}\circ f_{A_2B_2}.$
4. Demostrar que cada elemento de $F$ tiene inverso en $F.$ Si $f_{CD}$ es el inverso de $f_{AB},$ calcular $C$ y $D$ en términos de $A$ y $B.$ Aplicación al cálculo del inverso de $f_{AB}$ cuando $$A=\begin{bmatrix}{2}&{1}\\{1}&{1}\end{bmatrix}\;,\;B=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}&{2}\\{0}&{-1}&{1}\end{bmatrix}.$$ 5. Sea la aplicación $h:F\to \mathbb{R}^*$ (grupo multiplicativo de $\mathbb{R}-\{0\}$) definido por $h(f_{AB})=\det A.$ ¿Es $h$ un homomorfismo de grupos? Se considera el subconjunto $F_1$ de $F$ formado por las $f_{AB}$ tales que $\det A=1$ ¿Es $F_1$ subgrupo de $F$? En caso afirmativo, ¿es $F_1$ subgrupo normal?

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Usando la definición de composición de aplicaciones: $$(f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1})(X)=f_{A_2B_2}[f_{A_1B_1}(X)]=f_{A_2B_2}(A_1X+B_1)=$\\$A_2(A_1X+B_1)+B_2=(A_2A_1)X+(A_2B_1+B_2)=f_{A_2A_1,A_2B_1+B_2}(X).$$ Dado que $A_2A_1$ es matriz real $2\times 2$ invertible (producto de invertibles) y $A_2B_1+B_2$ es matriz real $2\times 3,$ se concluye que  $f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1}\in M$ es decir, la composición de aplicaciones es una ley de composición interna en $F.$

2. Eligiendo $I$ la matriz identidad real de orden $2\times 2$ (que es invertible) y $0$ la matriz nula real de orden $2\times 3$ obtenemos $f_{I,0}(X)=IX+0=X=i(X)$ para toda matriz $X\in M$ es decir, $i=f_{I,0}\in F.$ La función $i$ es el elemento unidad de $f$ pues para toda $f_{AB}$ de $F$ tenemos: $$(f_{AB}\circ i)(X)=f_{AB}[i(X)]=f_{AB}(X)\Rightarrow{f_{AB}\circ i=f_{AB}}.$$ $$(i\circ f_{AB})(X)=i[f_{AB}(X)]=f_{AB}(X)\Rightarrow{i\circ f_{AB}=f_{AB}}.$$

3. La propiedad asociativa en $F$ se enuncia de la siguiente manera:$$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\quad \forall f,g,h\in F.$$ Veamos que es cierta. En efecto, para todo $X\in M$ se verifica $$((f\circ g)\circ h)(X)=(f\circ g)(h(X))=f(g(h(X)))$$ $$=f((g\circ h)(X))=(f\circ (g\circ h))(X).$$ Veamos que no es cierta la propiedad conmutativa. De lo demostrado en el primer apartado deducimos que $$f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1}=f_{A_2A_1,A_2B_1+B_2}\;,\;f_{A_1B_1}\circ f_{A_2B_2}=f_{A_1A_2,A_1B_2+B_1}.$$ Elijamos por ejemplo $$A_1=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}\\{0}&{-1}\end{bmatrix}\;,\;A_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}\;,\;B_1=B_2=0\;,\;X=\begin{bmatrix}{0}&{0}& 0\\{1}&{0}&0\end{bmatrix},$$ entonces $$A_2A_1=\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{\;\;0}\end{bmatrix}\;,\;A_1A_2=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}\;,\;A_2B_1+B_2=A_1B_2+B_1=0$$  $$(f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1})(X)=\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{\;\;0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{0}& 0\\{1}&{0}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-1}&{0}& 0\\{\;\;0}&{0}&0\end{bmatrix},$$ $$(f_{A_1B_1}\circ f_{A_2B_2})(X)=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{0}& 0\\{1}&{0}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&0\end{bmatrix},$$ por tanto no se cumple la propiedad conmutativa.

4. Sea $f_{AB}\in F.$ Entonces $f_{CD}$ es inverso de $f_{AB}$ si y sólo si se verifica $f_{AB}\circ f_{CD}=f_{CD}\circ f_{AB}=f_{I,0}.$ Por lo demostrado en el primer apartado, esto equivale a $f_{AC,AD+B}=f_{CA,CB+D}=f_{I,0},$ y para que esto se cumpla basta que se verifique $$\left \{ \begin{matrix} AC=CA=I\\AD+B=CB+D=0.\end{matrix}\right.\quad (1)$$ Como $A$ es invertible, eligiendo $C=A^{-1}$ se verifica $AC=CA=I.$ De la igualdad $AD+B=0$ deducimos que $D=-A^{-1}B.$ Pero para esta $D,$ se verifica $CB+D=A^{-1}B-A^{-1}B=0.$ Es decir, el sistema (1) tiene solución y por tanto el inverso $(f_{AB})^{-1}$ de $f_{AB}$ es $(f_{AB})^{-1}=f_{A^{-1},-A^{-1}B}.$ Para el elemento concreto dado, fácilmente obtenemos $$C=A^{-1}=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{-1}\\{-1}&{\;\,2}\end{bmatrix}\;,\;D=-A^{-1}B=\begin{bmatrix}{-1}&{-1}&{-1}\\{\;\;1}&{\;\;2}&{\;\;0}\end{bmatrix}.$$

5. Veamos que $h$ es homomorfismo de grupos. En efecto para cualquier par de elementos $f_{A_2B_2}$ y $f_{A_1B_1}$ de $F$ se verifica $$h(f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1})=h(f_{A_2A_1,A_2B_1+B_2})=\det (A_2A_1)=$\\$(\det A_2)(\det A_1)=h(f_{A_2B_2})h(f_{A_1B_1}).$$ Veamos que $F_1$ es subgrupo de $F.$ Como $\det I=1$ se verifica que $f_{I,0}\in F_1$ es decir, $F_1\neq \emptyset.$ Sean ahora dos elementos $f_{A_2B_2}$ y $f_{A_1B_1}$ de $F_1$. De los apartados primero y cuarto deducimos $$f_{A_2B_2}\circ (f_{A_1B_1})^{-1}=f_{A_2B_2}\circ f_{-A_1^{-1},\;-A_1^{-1}B_1}=f_{A_2A_1^{-1},\;-A_2A_1^{-1}B_1+B_2}.$$

Pero $\det(A_2A_1^{-1})=(\det A_2)(\det A_1^{-1})=(\det A_2)(\det A_1)^{-1}=1\cdot 1=1.$ Es decir, se verifica $f_{A_2B_2}\circ (f_{A_1B_1})^{-1}\in F_1$ y por tanto podemos concluir que $F_1$ es subgrupo de $F.$

Por una conocida caracterización, para demostrar que $F_1$ es subgrupo normal de $F$ basta demostrar que para todo $f_{AB}\in F$ y para todo $f_{MN}\in F_1$ se verifica $f_{AB}\circ f_{MN}\circ (f_{AB})^{-1}\in F_1.$ De los apartados anteriores: $$f_{AB}\circ f_{MN}\circ (f_{AB})^{-1}=f_ {AM,\;AN+B}\circ f_{A^{-1},\;-A^{-1}B}=f_{AMA^{-1},\;-AMA^{-1}B+AN+B}.$$ Por hipótesis $\det A\neq 0$ y $\det M=1,$ por tanto $$\det (AMA^{-1})=(\det A)(\det M)(\det A^{-1})=(\det A)(\det A)^{-1}=1,$$ es decir $f_{AB}\circ f_{MN}\circ (f_{AB})^{-1}\in F_1$ de lo que se concluye que $F_1$ es subgrupo normal de $F.$

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