Grupo no cíclico

Proporcionamos un ejemplo de grupo no cíclico.

Enunciado
$(a)$ Sea $G=\left\{{f_1,f_2,f_3,f_4}\right\}$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}-\{0\}$ en $\mathbb{R}-\{0\}$ definidas mediante: $$f_1(x)=x\;,\;f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;,\;f_3(x)=-x\;,\;f_4(x)=-\displaystyle\frac{1}{x}.$$ Demostrar que $G$ es un grupo con la operación composición de aplicaciones. Verificar que no es grupo cíclico.

$(b)$ Demostrar que las cuatro sustituciones $$i=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\\{1}&{2}&{3}&{4}\end{pmatrix},\quad r=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\\{2}&{1}&{4}&{3}\end{pmatrix},$$ $$s=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\\{3}&{4}&{1}&{2}\end{pmatrix},\quad t=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\\{4}&{3}&{2}&{1}\end{pmatrix},$$ forman un grupo isomorfo al grupo del apartado anterior.

(Propuesto en hojas de problemas, ETS Ing. Agrónomos, UPM).

Solución
$(a)$ Usando la definición de composición de aplicaciones $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ obtenemos fácilmente la tabla de Cayley de la operación $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{\circ}&f_1&f_2&f_3&f_4\\\hline
{}f_1&f_1&f_2&f_3&f_4\\
{}f_2&f_2&f_1&f_4&f_3\\
{}f_3&f_3&f_4&f_1&f_2\\
{}f_4&f_4&f_3&f_2&f_1\\
\end{array}$$ La operación $\circ$ es interna en $G$. Sabemos que es asociativa en general, luego lo es en nuestro caso. Claramente $f_1$ es elemento neutro. Para todo $i=1,2,3,4$ se verifica $f_i\circ f_i=f_1$ lo cual implica que todo $f_i$ tiene elemento simétrico $f_i^{-1}$ siendo $f_i^{-1}=f_i$. Concluimos que $(G,\circ )$ es grupo. Es además conmutativo debido a la simetría de la tabla. El elemento neutro $f_1$ tiene orden 1 y los restantes elementos, orden 2. Es decir, no hay ningún elemento de orden 4 y por tanto, $(G,\circ )$ no es cílico

$(b)$ Usando la definición de producto de sustituciones obtenemos fácilmente la tabla de Cayley de la operación $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{\circ}&i&r&s&t\\\hline
{}i&i&r&s&t\\
{}{r}&{r}&{i}&{t}&{s}\\
{}s&s&t&i&r\\
{}t&t&s&r&i\\
\end{array}$$ Llamando $S=\{i,r,s,t\}$, definimos la aplicación $\phi: G\to S$ mediante $$\phi(f_1)=i\;,\;\phi(f_2)=r\;,\; \phi(f_3)=s\;,\;\phi(f_4)=t.$$ La aplicación $\phi$ es biyectiva, y un simple observación de las anteriores tablas de Cayley muestra que se verifica $\phi(f_i\circ f_j)=\phi(f_i)\cdot\phi(f_j)$ para todo $i,j=1,2,3,4$. Se concluye que $(S,\cdot)$ es grupo y que $\phi$ es isomorfismo entre  $(G,\circ)$ y $(S,\cdot)$.

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