Series complejas: criterios de la raíz y del cociente

TEORÍA

1  Demostrar que toda serie absolutamente convergente es convergente.

SOLUCIÓN

2  Demostrar que no toda serie convergente es absolutamente convergente.

SOLUCIÓN

3  Demostrar el criterio de la raíz:
Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces:
$i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
$ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
$iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.

SOLUCIÓN

4  Demostrar el criterio del cociente :
Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\left|u_{n+1}/u_n\right|$ tiene límite $L.$ Entonces:
$i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
$ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
$iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.

SOLUCIÓN

5 Estudiar la convergencia absoluta de las series: $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+i)^nn}{2^n}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}in}{3^n}.\quad c)\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(z-2)^n}.$$

SOLUCIÓN

6 Estudiar las regiones de convergencia absoluta de las series $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(z+1)^n}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n2^n}{(z-3i)^{2n}}. $$ Nota. No se pide analizar los casos dudosos.

SOLUCIÓN

7 Estudiar las regiones de convergencia absoluta de las series $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{n}e^{-nz}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}ne^{nz}. $$ Nota. No se pide analizar los casos dudosos.

SOLUCIÓN
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