Series complejas: criterios de la raíz y del cociente

Aplicamos los criterios de la raíz y del cociente al estudio de la convergencia de series complejas.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que toda serie absolutamente convergente es convergente.
  2. Demostrar que no toda serie convergente es absolutamente convergente.
  3. Demostrar el criterio de la raíz:
    Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces:
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.
  4. Demostrar el criterio del cociente :
    Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\left|u_{n+1}/u_n\right|$ tiene límite $L.$ Entonces:
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.
  5. Estudiar la convergencia absoluta de las series: $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+i)^nn}{2^n}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}in}{3^n}.\quad c)\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(z-2)^n}.$$
  6. Estudiar las regiones de convergencia absoluta de las series $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(z+1)^n}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n2^n}{(z-3i)^{2n}}. $$ Nota. No se pide analizar los casos dudosos.
  7. Estudiar las regiones de convergencia absoluta de las series $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{n}e^{-nz}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}ne^{nz}. $$ Nota. No se pide analizar los casos dudosos.
    Solución
  1. Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ absolutamente convergente. Sea $\epsilon>0.$ Por el criterio de Cauchy para series, existe $n_0$ natural tal que $$n\geq m\geq n_0\Rightarrow \left|\;\left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|\;\right|$$ $$=\left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|<\epsilon.$$ Pero $\left|u_n+u_{n+1}+\cdots+u_m\right|\leq \left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|,$ lo cual implica, de nuevo por el criterio de Cauchy, que la serie $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ es convergente.
  2. Consideremos las serie real (y por tanto compleja): $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}.$$ Sabemos por teoría de series reales que es convergente pero no absolutamente convergente.
  3. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}<r,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|<r^n.$ Como la serie de término general $r^n$ es convergente (geométrica de razón un número en módulo menor que $1$), se deduce que la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ por definición de límite se verifica para $n$ suficientemente grande $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}>1,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|>1.$ El límite de $u_n$ no tiende a $0,$ luego la serie es divergente.
    $iii)$ Elijamos las series reales (y por tanto complejas): $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ Para la primera serie tenemos $$L=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}$$ $$=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1,$$ y para la segunda $$L=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{2n}\right)^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^{1/n}n^{1/n}}$$ $$=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^{1/n}}\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{2^0}\cdot 1=1.$$ Sabemos por teoría de series reales que la primera es divergente y la segunda convergente. Esto demuestra que el criterio de la raíz no decide sobre el carácter de la serie si $L=1.$
  4. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r.$ Si pérdida de generalidad, podemos suprimir un número finito de términos de la serie de tal manera que se verifique $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r$ para todo $n.$ Tenemos pues $$\left|u_n\right|=\left|\frac{u_{n}}{u_{n-1}}\right|\cdot \left|\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\right|\cdot\left|\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}}\right|\cdot\ldots \cdot \left|\frac{u_{2}}{u_{1}}\right|\cdot\left|u_1\right|<\left|u_1\right|r^{n-1}.$$ Como $r$ tiene valor absoluto menor que $1,$ la serie de término general $\left|u_1\right|r^{n-1}$ es convergente (álgebra de series y teorema de convergencia de la serie geométrica). Por el criterio de comparación, la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ entonces para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|>1,$ o de forma equivalente $\left|u_{n+1}\right|>\left|u_n\right|,$ luego el término general $u_n$ no tiende a $0$ y como consecuencia la serie es divergente.
    $(iii)$ Consideremos las series reales (y por tanto complejas): $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ En ambos casos, $L=1,$ la primera es divergente y la segunda convergente, según conocidos resultados de series reales.
  5. $a)$ Usando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(1+i)^{n+1}(n+1)}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{(1+i)^nn}\right|$$ $$=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{1+i}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\right|=\left|\frac{1+i}{2}\right|\cdot \left|1\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}<1,$$ por tanto la serie es absolutamente convergente.
    $(b)$ Usando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{\operatorname{sen}i(n+1)}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{\operatorname{sen}in}\right|$$ $$=\frac{1}{3}\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{\operatorname{sen}i(n+1)}{\operatorname{sen}in}\right|=\frac{1}{3}\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{e^{-n-1}-e^{n+1}}{e^{-n}-e^n}\right|.$$ Dividiendo numerador y denominador entre $e^{n+1}:$ $$L=\frac{1}{3}\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{e^{-2n-2}-1}{e^{-2n-1}-1/e}\right|=\frac{e}{3}<1,$$ por tanto la serie es absolutamente convergente.
    $(c)$ Usando el criterio de la raíz: $$L=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\left|z-2\right|^n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\left|z-2\right|}=\frac{1}{\left|z-2\right|}.$$ Entonces, $$\frac{1}{\left|z-2\right|}<1\Leftrightarrow 1<\left|z-2\right|.$$ Por tanto, si $1<\left|z-2\right|$ la serie es absolutamente convergente, si $1>\left|z-2\right|$ es divergente, y si $\left|z-2\right|=1$ también es divergente según el conocido resultado acerca de las series geométricas.
  6. $a)$ Aplicando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{1}{(n+1)(z+1)^{n+1}}\cdot n(z+1)^n\right|=\frac{1}{\left|z+1\right|}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+1}$$ $$=\frac{1}{\left|z+1\right|}<1\Leftrightarrow 1<\left|z+1\right|.$$ $b)$ De manera análoga: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(n+1)2^{n+1}}{(z-3i)^{2n+2}}\cdot \frac{(z-3i)^{2n}}{n2^n}\right|=\frac{1}{\left|z-3i\right|^2}\lim_{n\to +\infty}\frac{2(n+1)}{n}$$ $$=\frac{2}{\left|z-3i\right|^2}<1\Leftrightarrow \sqrt{2}<\left|z-3i\right|.$$
  7. $a)$ Aplicando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{\sqrt{n+1}e^{-(n+1)z}}{\sqrt{n}e^{-nz}}\right|=\frac{1}{\left|e^z\right|}\lim_{n\to +\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}} =\frac{1}{\left|e^z\right|}<1$$ $$\Leftrightarrow 1<\left|e^z\right|\Leftrightarrow 1<\left|e^{x+iy}\right|\Leftrightarrow 1<e^x\Leftrightarrow x>0\Leftrightarrow \operatorname{Re}z>0.$$ $b)$ De manera análoga: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(n+1)e^{(n+1)z}}{ne^{nz}}\right|=\left|e^z\right|\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n} =\left|e^z\right|<1$$ $$\Leftrightarrow \left|e^{x+iy}\right|<1\Leftrightarrow e^x<1\Leftrightarrow x<0\Leftrightarrow \operatorname{Re}z<0.$$
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