Conjunto, grupo y aplicación

Relacionamos un conjunto, un  grupo y una aplicación.

Enunciado
Se consideran los objetos matemáticos siguientes:
$(a)$ Un conjunto $E$.
$(b)$ Un grupo multiplicativo $G$ con elemento unidad $e$.
$(c)$ Una aplicación $\varphi: G\times E\to E$ que satisface:
$(i)$ $\forall{a,b\in G}\;\forall{x\in E}\quad \varphi (ab,x)=\varphi(a,\varphi (b,x))$.
$(ii)$ $\forall x\in E\quad \varphi (e,x)=x$.

Se pide:
1. Demostrar que si $F\subset E$ entonces $G_F=\{a\in G:\varphi (a,x)=x\quad\forall x\in F\}$ constituye un subgrupo de $G$.
2. Demostrar que $G_{F_1\cup F_2}=G_{F_1}\cap G_{F_2}$.
3. Comprobar que la relación binaria en $E$ $$xRy\Leftrightarrow \exists a\in G:\varphi(a,x)=y,$$ es de equivalencia.

(Propuesto en hojas de problemas, Álgebra, ETS de Arquitectura, UPM).

Solución
1. Usamos la conocida caracterización de subgrupos. Por la condición $(ii)$, $\varphi (e,x)=x$ para todo $x\in F\subset E$, es decir $e\in G_F$ y por tanto $G_F\neq \emptyset.$ Sean ahora $a,b\in G_F$ y veamos que $ab^{-1}\in G_F$. Como $b\in G_F$, se verifica $\varphi (b,x)=x$ para todo $x\in F$, en consecuencia y usando $(i)$: $$x=\varphi (e,x)=\varphi (b^{-1}b,x)=\varphi(b^{-1},\varphi(b,x))=\varphi(b^{-1},x)\quad \forall x\in F,$$ por tanto y teniendo en cuenta que $a\in F$ se verifica para todo $x\in F:$ $$\varphi (ab^{-1},x)=\varphi(a,\varphi(b^{-1},x))=\varphi (a,x)=x\quad \forall x\in F,$$ lo cual implica que $ab^{-1}\in G_F$. Concluimos que $G_F$ es subgrupo de $G$.

2. Tenemos $$a\in G_{F_1}\cup G_{F_2}\Leftrightarrow \varphi (a,x)=x\quad \forall x\in F_1\cup F_2$$ $$\Leftrightarrow (\varphi (a,x)=x\quad \forall x\in F_1)\;\wedge\;\;(\varphi (a,x)=x\quad \forall x\in F_2)$$ $$ \Leftrightarrow (a\in G_{F_1})\;\wedge\;(a\in G_{F_2})\Leftrightarrow a\in G_{F_1}\cap G_{F_2},$$ es decir $G_{F_1\cup G_{F_2}}=G_{F_1}\cap G_{F_2}$.

3. Para todo $x\in E$ se verifica $\varphi (e,x)=x$ es decir, $xRx$. La relación es reflexiva. Supongamos que $xRy$, entonces existe $a\in G$ tal que $\varphi (a,x)=y$. Se verifica $$x=\varphi (e,x)=\varphi(a^{-1}a,x)=\varphi (a^{-1},\varphi(a,x))=\varphi (a^{-1},y),$$ lo cual implica $yRx$, es decir la relación es simétrica. Por otra parte $$\displaystyle\begin{aligned}
\left \{ \begin{matrix}xRy\\yRz\end{matrix}\right.&\Rightarrow
\left \{ \begin{matrix}\exists a\in G:\varphi(a,x)=y\\
\exists b\in G:\varphi(b,y)=z\end{matrix}\right.\\
& \Rightarrow z=\varphi(b,\varphi(a,x))=\varphi(ba,x)\\
& \Rightarrow xRz,
\end{aligned}$$ lo cual implica que la relación es transitiva. Concluimos que $R$ es relación de equivalencia.

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