Ecuación diferencial lineal

Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial lineal.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Resolver la ecuación $y’=y\tan x+\cos x.$
  2. Resolver la ecuación lineal $y’+2xy=2xe^{-x^2}.$
  3. Usando el método de variación de las constantes, resolver la ecuación lineal $y’+2xy=2xe^{-x^2}.$
  4. Resolver la ecuación $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\cos y+\operatorname{sen}2y}.$
  5. Demostrar que la solución general de la ecuación diferencial lineal $y’+py=q$ es $$ye^{\int pdx}-\int qe^{\int pdx}dx=C.$$
  6. Demostrar que la solución general de la ecuación lineal completa $y’+py=q$ se obtiene sumando a una solución particular todas las de la homogénea.
  7. Resolver la ecuación $2xy’-y=3x^2.$
  8. Usando el método de variación de las constantes, resolver la ecuación lineal $$\frac{dy}{dx}+\frac{2x+1}{x}y=e^{-2x}.$$
  9. Demostrar que si $y_1$ e $y_2$ son soluciones particulares de la ecuación lineal $y’+py=q,$ entonces su solución general es $$\frac{y-y_2}{y_2-y_1}=C.$$
  10. Resolver la ecuación diferencial $$x’+\frac{2tx}{3+t^2}=e^t$$ con la condición inicial $x(0)=0.$ Escribir la solución en forma explícita e indicar su intervalo máximo de continuidad. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).
    Solución
  1. Podemos escribir la ecuación en la forma $$y’-(\tan x)y=\cos x,$$ es decir es lineal. Usando la fórmula de la solución general: $$ye^{\int -\tan x\;dx}-\int (\cos x)e^{\int -\tan x\;dx}dx=C,$$ $$ye^{\log \left|\cos x\right|}-\int (\cos x) e^{\log \left|\cos x\right|} dx=C,$$ $$y\cos x-\int \cos^2 x dx=C,\quad y\cos x -\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\operatorname{sen}2x+C.$$ La solución general de la ecuación es por tanto $y\cos x -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\operatorname{sen}2x+C.$
  2. Usando la fórmula de la solución general de la ecuación lineal: $$ye^{\int 2xdx}-\int 2xe^{-x^2}e^{\int 2xdx}dx=C,$$ $$ye^{x^2}-\int 2xe^{-x^2}e^{x^2}dx=C,$$ $$ye^{x^2}-\int 2xdx=C,\quad ye^{x^2}-x^2=C.$$ La solución general de la ecuación es por tanto $y=(C+x^2)e^{-x^2}.$
  3. La ecuación homogénea es $y’+2xy=0,$ y su solución general $y=Ce^{-\int 2x\;dx}=Ce^{-x^2}.$ Sustituyendo $y=C(x)e^{-x^2}$ en la ecuación completa: $$C’(x)e^{-x^2}+C(x)e^{-x^2}(-2x)+2xC(x)e^{-x^2}=2xe^{-x^2},$$ $$C’(x)e^{-x^2}=2xe^{-x^2},\;C’(x)=2x,\;C(x)=x^2+C.$$ La solución general de la ecuación completa es por tanto $$y=(x^2+C)e^{-x^2}.$$
  4. Invirtiendo obtenemos $$\dfrac{dx}{dx}=x\cos y+\operatorname{sen}2y,\text{ o bien }x’-(\cos y)x=\operatorname{sen}2y$$ es decir, la ecuación dada es lineal en $x$ como función de $y.$ Usando la fórmula de la solución general: $$xe^{\int -\cos y\;dy}-\int (\operatorname{sen}2y)e^{\int -\cos y\;dy}dy=C,$$ $$xe^{-\operatorname{sen} y}-\int (\operatorname{sen}2y)e^{-\operatorname{sen} y}dy=C.$$ La última integral la podemos expresar en la forma $$\int (\operatorname{sen}2y)e^{-\operatorname{sen} y}dy=2\int \operatorname{sen}y\cos y\;e^{-\operatorname{sen}y}dy.$$ Usando la fórmula de integración por partes con $u=\operatorname{sen}y,$ $dv=\cos y\;e^{-\operatorname{sen}y}$ fácilmente obtenemos $$\int (\operatorname{sen}2y)e^{-\operatorname{sen} y}dy=-2e^{-\operatorname{sen} y}(1+\operatorname{sen}y).$$ La solución general de la ecuación dada es por tanto $$xe^{-\operatorname{sen} y}+2e^{-\operatorname{sen} y}(1+\operatorname{sen}y)=C,$$ que la podemos expresar en la forma $$x=Ce^{\operatorname{sen}y}-2\operatorname{sen}y-2.$$
  5. Podemos escribir la ecuación $ y’+py=q$ en la forma $$\frac{dy}{dx}=-py+q,\text{ o bien }(py-q)dx+dy=0.$$ Veamos que tiene un factor integrante $\mu=\mu(x)$ que depende exclusivamente de $x.$ Multiplicando por $\mu:$ $$\mu(py-q)dx+\mu dy=0.$$ Obligando a que sea diferencial exacta: $$\frac{\partial }{\partial y}(\mu (py-q))=\frac{\partial }{\partial x}(\mu),\;\; \mu p=\mu’,\;\;\frac{\mu’}{\mu}=p,$$ $$\log\left|\mu\right|=\int pdx,\;\;\mu=e^{\int pdx}.$$ Es decir, obtenemos la ecuación diferencial exacta: $$Pdx+Qdy=0,\text{ con } P=(py-q)e^{\int pdx},\;Q=e^{\int pdx}.$$ Hallemos $u$ tal que $$\left \{ \begin{matrix} u_x=(py-q)e^{\int pdx}\\u_y=e^{\int pdx}. \end{matrix}\right.$$ Integrando la segunda igualdad: $$u=\int e^{\int pdx}\;dy=ye^{\int pdx}+\varphi(x).$$ Usando ahora la primera igualdad: $$u_x=ype^{\int pdx}+\varphi’(x)=(py-q)e^{\int pdx}$$ $$\Rightarrow \varphi’ (x)=-qe^{\int pdx}\Rightarrow \varphi (x)=-\int qe^{\int pdx}dx.$$ La solución general de la ecuación lineal es por tanto $$ye^{\int pdx}-\int qe^{\int pdx}dx=C.$$
  6. Si $y_1$ es una solución particular de la ecuación completa e $y_h$ es solución de la homogénea, entonces $$(y_1+y_h)’+p(y_1+y_h)=y’_1+y’_h+py_1+py_h$$ $$=(y’_1+py_1)+(y’_h+py_h)=q+0=q,$$ es decir $y_1+y_h$ es solución de la completa.
    Recíprocamente, sea $y_1$ solución particular de la completa e $y_c$ una solución cualquiera de la misma. Entonces, $$(y_c-y_1)’+p(y_c-y_1)=y’_c-y’_1+py_c-py_1$$ $$(y’_c+py_c)-(y’_1+py_1)=q-q=0,$$ es decir $y_c-y_1$ es solución de la homogénea. Llamando $y_h=y_c-y_1,$ queda $y_c=y_1+y_h$ siendo $y_h$ solución de la homogénea.
  7. Podemos escribir la ecuación en la forma $$y’-\frac{1}{2x}y=\frac{3x}{2},$$ es decir es lineal. Usando la fórmula de la solución general: $$ye^{\int (-1/2x)dx}-\int \frac{3x}{2}e^{\int (-1/2x)dx}dx=C,$$ $$ye^{(-1/2)\log \left|x\right|}-\frac{3}{2}\int x e^{(-1/2)\log \left|x\right|}dx=C,$$ $$\frac{y}{\sqrt{x}}-\frac{3}{2}\int x\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}dx=C,\quad \frac{y}{\sqrt{x}}-x^{3/2}=C$$ La solución general de la ecuación es por tanto $y=C\sqrt{x}+x^2.$
  8. La ecuación homogénea es $$\frac{dy}{dx}+\frac{2x+1}{x}y,\text{ o bien } \frac{dy}{y}+\left(2+\frac{1}{x}\right)dx=0.$$ Integrando, $$\log \left|y\right|+2x+\log \left|y\right|=K,\;\log \left|yx\right|=K-2x,$$ $$yx=e^Ke^{-2x}=Ce^{-2x},\;y=C\frac{e^{-2x}}{x}.$$ Obliguemos a que $y=C(x)e^{-2x}/x$ sea solución de la completa: $$C’(x)\frac{e^{-2x}}{x}+C(x)\frac{-2e^{-2x}x-e^{-2x}}{x^2}+\frac{2x+1}{x}C(x)\frac{e^{-2x}}{x}=e^{-2x}.$$ Multiplicando por $e^{2x}:$ $$\frac{C’(x)}{x}+C(x)\frac{-2x-1}{x^2}+\frac{2x+1}{x^2}C(x)=1,$$ $$C’(x)=x,\;C(x)=\frac{x^2}{2}+C.$$ La solución general de la completa es por tanto $$y=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)e^{-2x}.$$
  9. La solución general de la homogénea sabemos que es $y_h=Ke^{-\int p\;dx},$ por tanto la solución general de la completa es $y=y_1+y_h,$ o bien $y-y_1=Ke^{-\int p\;dx}.$ La solución $y_2$ se obtendrá dando a $K$ un valor $K_1,$ es decir $y_2-y_1=K_1e^{-\int p\;dx},$ lo cual implica $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{Ke^{-\int p\;dx}}{K_1e^{-\int p\;dx}}=\frac{K}{K_1}=C.$$
  10. Se trata de una ecuación lineal, por tanto su solución general es $$xe^{\int 2tdt/(3+t^2)}-\int e^t e^{\int 2tdt/(3+t^2)}dt=C,$$ $$xe^{\log (t^2+3)}-\int e^te^{\log (t^2+3)}dt,\;x(t^2+3)-\int (t^2+3)e^tdt.$$ Aplicando dos veces el método de integración por partes, fácilmente obtenemos $$\int (t^2+3)e^tdt=(t^2-2t+5)e^t,$$ y por tanto la solución general es $$x(t^2+3)-(t^2-2t+5)e^t=C.$$ Particularizando para $t=0,$ $x=0$ obtenemos $C=-5,$ luego la solución particular pedida es $$x=\frac{(t^2-2t+5)e^t-5}{t^2+3},$$ y su intervalo máximo de continuidad es claramente $(-\infty,+\infty).$
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