Aproximación de funciones por polinomios

Proporcionamos ejercicios de aproximación de funciones por polinomios.

TEORÍA

1 Acotar el error de la fórmula aproximada: $e\approx 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}.$

SOLUCIÓN

2 Calcular aproximadamente $\log 2,$ usando el polinomio de Maclaurin de grado $5$ de la función $f(x)=\log (x+1).$ Dar una cota del error cometido.

SOLUCIÓN

3 Expresar el polinomio $f(x)=x^3-2x^2+6x-7$ en potencias enteras y positivas de $x+1.$

SOLUCIÓN

4 Averiguar cuantos términos hay que tomar en la fórmula de Maclaurin aplicada a la función $f(x)=e^x,$ para obtener un polinomio que la represente en el intervalo $[-1,1],$ con tres cifras decimales exactas.

SOLUCIÓN

5 Determinar un intervalo verificando que  la fórmula aproximada $\cos x\approx 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}$ tiene un error menor que $0.00005.$

SOLUCIÓN

6  Demostrar que la diferencia entre $\operatorname{sen}(a+h)$ y $\operatorname{sen}a+h\cos a$ no es mayor que $h^2/2.$

SOLUCIÓN

7  Expresar el polinomio $f(x)=x^3-2x^2+3x+5$ en potencias enteras y positivas de $x-2.$

SOLUCIÓN

8  Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad se comba formando la catenaria $y=a\operatorname{ch}\dfrac{x}{a}.$ Demostrar que para valores pequeños de $\left|x\right|,$ la forma que toma el hilo se puede representar aproximadamente por la parábola $y=a+\dfrac{\;x^2}{2a}.$

SOLUCIÓN

9  Calcular $\sqrt{e}$ con un error menor que $10^{-3}.$

SOLUCIÓN

10  $(a)$ Escribir la fórmula de Taylor de orden $3$ en $x_0=1$ para la función $f(x)=\sqrt[3]{x}$
$(b)$ Siendo $\left|x-1\right|<0.01,$ acotar el error de la fórmula: $$\sqrt[3]{x}\approx \dfrac{5x^3-24x^2+60x+40}{81}.$$

SOLUCIÓN

11  Hallar el polinomio de Maclaurin de grado $4$ de la función $f(x)=\cos x.$ Usando dicho polinomio, hallar un valor aproximado de $\cos 0.1$, dando una cota del error cometido.

SOLUCIÓN
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