Relación y operaciones en el plano

Enunciado
En el conjunto de los puntos del plano $\pi$ referidos a un par de ejes rectangulares $XOY$ se consideran:
a) La ley de composición $A*B=M$ siendo $M$ el punto de corte de la paralela por $A$ a $OX$ con la paralela por $B$ a $OY$.
b) La relación binaria $P\sim Q\Leftrightarrow{}$ las coordenadas de $P$ y $Q$ suman lo mismo.

Se establece la aplicación $f:\pi\to \mathbb{R}^2$ de forma que al punto $P(x,y)$ le corresponde el par $(x^3,y^3)$ de $\mathbb{R}^2$. Se define en $\mathbb{R}^2$ la ley de composición $(a,b)\circ (c,d)=(a,d)$.

Se pide:
1. ¿Es $*$ asociativa?
2. ¿Hay neutro en $\pi$ para $*$?
3. ¿Es $\sim$ una relación de equivalencia? Si lo es, ¿cuáles son las clases de equivalencia?
4. ¿Es $\sim$ compatible con $*$? Si lo es, ¿cuál es la ley inducida en el conjunto cociente?
5. ¿Es $f$ un isomorfismo entre las estructuras $(\pi,*)$ y $(\mathbb{R}^2,\circ)$?

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Aeronaúticos, UPM).

Solución
1. Sean $A=(a_1,a_2)$ y $B(b_1,b_2)$, por una simple consideración geométrica deducimos que  $(a_1,a_2)*(b_1,b_2)=(b_1,a_2)$.

La operación $*$ es asociativa pues $$[(a_1,a_2)*(b_1,b_2)]*(c_1,c_2)=(b_1,a_2)*(c_1,c_2)=(c_1,a_2),$$ $$(a_1,a_2)*[(b_1,b_2)*(c_1,c_2)]=(a_1,a_2)*(c_1,b_2)=(c_1,a_2).$$ 2. Sea $(e_1,e_2)$ un elemento fijo de $\pi$. Si es elemento neutro para la operación $*$ se ha de verificar $$(a_1,a_2)*(e_1,e_2)=(a_1,a_2)\quad \forall (a_1,a_2)\in\pi,$$ $$ (e_1,e_2)*(a_1,a_2)=(a_1,a_2)\quad \forall (a_1,a_2)\in\pi.$$ Equivalentemente $(e_1,a_2)=(a_1,e_2)=(a_1,a_2)\quad \forall (a_1,a_2)\in\pi$. Por tanto se ha de verificar $e_1=a_1$ y $e_2=a_2$. No existe pues elemento neutro para la operación $*$ pues $(e_1,e_2)$ ha de ser elemento fijo.

3. Veamos que $\sim$ es una relación de equivalencia.

$(a)$ Para todo $P(x,y)$ de $\pi$ se verifica $x+y=x+y$ lo cual implica que $\sim$ es reflexiva.

$(b)$  $P(x,y)\sim Q(z,t)\Rightarrow x+y=z+t\Rightarrow z+t=x+y \Rightarrow Q(z,t)\sim P(x,y)$ lo cual implica que $\sim$ es simétrica.

$(c)\;\left \{ \begin{matrix} P(x,y)\sim Q(z,t)\\Q(z,t)\sim R(u,v)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x+y=z+t\\z+t=u+v\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y=u+v\Rightarrow $ $P(x,y)\sim R(u,v),$ lo cual implica que $\sim$ es transitiva.

Hallemos las clases de equivalencia. Sea $A(a_1,a_2)\in\pi$, la clase de equivalencia a la que pertenece $A$ es $[A]=\{(x,y)\in \pi: x+y=a_1+a_2\}$. Es decir, $[A]$ está formada por los puntos de la recta que pasa por $A$ y tiene pendiente $-1$. Los elementos del conjunto cociente $\pi/\sim$ son exactamente las rectas del plano de pendiente $-1$.

4. La relación $\sim$ no es compatible con la operación $*$. En efecto tenemos por ejemplo $(0,0)\sim (-1,1)$ y $(0,1)\sim (1,0)$ sin embargo $$(0,0)=(0,0)*(0,1)\not\sim (-1,1)*(1,0)=(1,1).$$ 5. Veamos si $f$ es isomorfismo entre las estructuras $(\pi,*)$ y $(\mathbb{R}^2,\circ)$. Tenemos $$f[(a,b)*(c,d)]=f[(c,b)]=(c^3,b^3),$$ $$ f[(a,b)]\circ f[(c,d)]=(a^3,b^3)\circ (c^3,d^3)=(a^3,d^3).$$ No es homomorfismo, en consecuencia tampoco es isomorfismo.

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