Ecuación diferencial de Riccati

Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial de Riccati.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Resolver la ecuación $y’+xy^2-(2x^2+1)y+x^3+x-1=0,$ sabiendo que tiene la solución particular $y_1=x.$
  2. Se considera la ecuación de Riccati: $$y’=y^2-\frac{1}{x}y-\frac{1}{x^2}.$$ (a) Encontrar una solución de la forma $y=x^m$ con $m$ real.
    (b) Encontrar la solución particular $y=y(x)$ que verifica $y(1)=2.$
  3. Demostrar que si $y_1$ es una solución particular de la ecuación de Riccati $y’=py^2+qy+r,$ entonces la sustitución $y=y_1+\dfrac{1}{v}$ la trasforma en lineal.
  4. Hallar una solución de la ecuación diferencial $(x^2 y^2+1)dx+2x^2 dy=0,$ de la forma $y=a/x.$
    Solución
  1. Es una ecuación de Riccati. Veamos que efectivamente $y_1=x$ es solución de la ecuación, $$y’_1+xy_1^2-(2x^2+1)y_1+x^3+x-1$$ $$=1+x^3-(2x^2+1)x+x^3+x-1=0\quad \forall x\in \mathbb{R.}$$ Efectuando la sustitución $y=x+\dfrac{1}{v}:$ $$1-\dfrac{v’}{v^2}+x\left(x+\dfrac{1}{v}\right)^2-(2x^2+1)\left(x+\dfrac{1}{v}\right)+x^3+x-1=0.$$ Simplificando, queda la ecuación lineal $v’+v=x,$ cuya solución general es $$ve^{\int dx}-\int xe^{\int dx}dx=C,\;ve^{x}-\int xe^{x}dx=C,$$ $$ve^{x}-e^x(x-1)=C,\;v=Ce^{-x}+x-1,$$ $$\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{Ce^{-x}+x-1}.$$ Usando $\dfrac{1}{v}=y-x,$ obtenemos la solución general de la ecuación dada: $$y=\dfrac{1}{Ce^{-x}-x+1}+x.$$
  2. (a) Obliguemos a que $y=x^m$ sea solución de la ecuación: $$mx^{m-1}=x^{2m}-x^{m-1}-x^{-2.}$$ Si $m=-1,$ el primer miembro es $-x^{-2}$ y el segundo, también $x^{-2}.$ Por tanto $y=1/x$ es solución.
    (b) Efectuando el cambio $y=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{v}:$ $$-\frac{1}{x^2}-\frac{v’}{v^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xv}+\frac{1}{v^2}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{xv}-\frac{1}{x^2}.$$ Simplificando obtenemos la ecuación lineal $$v’+\frac{1}{x}v=-1.$$ Hallemos su solución general: $$ve^{\int (1/x)dx}-\int -e^{\int (1/x)dx}dx=C,\;ve^{\log \left|x\right|}+\int e^{\log \left|x\right|}dx=C,$$ $$vx+\int x\;dx,\;vx+\frac{x^2}{2}=C.\qquad (*)$$ La condición inicial $y(1)=2$ equivale a $y(1)=1/1+1/v(1)$ es decir, a $v(1)=1.$ Sustituyendo $x=1,$ $v=1$ en $(*),$ obtenemos $C=3/2.$ La solución particular pedida es por tanto $$v=\frac{3-x^2}{2x},$$ y deshaciendo el cambio: $$y=\frac{x^2+3}{x(3-x^2)}.$$
  3. Sustituyendo $y=y_1+\dfrac{1}{v}$ en $y’=py^2+qy+r:$ $$\left(y_1+\dfrac{1}{v}\right)’=p\left(y_1+\dfrac{1}{v}\right)^2+q\left(y_1+\dfrac{1}{v}\right)+r,$$ $$y’_1-\dfrac{v’}{v^2}=py_1^2+2p\dfrac{y_1}{v}+\dfrac{p}{v^2}+qy_1+\dfrac{q}{v}+r.$$ Como $y_1$ es solución de $y’=py^2+qy+r$ se verifica $y’_1=py_1^2+qy_1+r,$ por tanto $$-\dfrac{v’}{v^2}=2p\dfrac{y_1}{v}+\dfrac{p}{v^2}+\dfrac{q}{v}.$$ Simplificando, queda $$-\dfrac{v’}{v^2}=\dfrac{2py_1v+p+qv}{v^2},$$ o bien $$v’+(2py_1+q)v=-p,$$ que es una ecuación lineal en $v.$
  4. La ecuación se puede escribir en la forma: $$y’=-\displaystyle\frac{1}{2}y^2-\displaystyle\frac{1}{2x^2},$$ es decir, es una ecuación de Riccati. Ensayando soluciones de la forma $y=a/x:$ $$-\frac{a}{x^2}=-\frac{a^2}{2x^2}-\frac{1}{2x^2},\;\frac{a^2-2a+1}{x^2}=0,\;\frac{(a-1)^2}{x^2}=0.$$ Deducimos que $a=1,$ es decir una solución particular es $y=\dfrac{1}{x}.$
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