Series complejas enteras, radio de convergencia

1  Sea la serie entera compleja $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nz^n.$ Demostrar que si converge para $z=z_0\neq 0,$ entonces converge para todo $z$ tal que $\left |z\right|<\left| z_0\right|.$

SOLUCIÓN

2  Sea la serie entera compleja $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nz^n.$ Demostrar que existe un único $\rho\in [0,+\infty]$ tal que:
$i)$ Si $\left|z\right|<\rho$ la serie es absolutamente convergente.
$ii)$ Si $\left|z\right|>\rho$ la serie es divergente.
A  $\rho$ se le llama radio de convergencia de la serie entera dada, y al círculo abierto $\left|z\right|<\rho,$ círculo o disco de convergencia.

SOLUCIÓN

3 Generalizar el resultado del problema anterior para la serie entera compleja $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_n(z-z_0)^n.$

SOLUCIÓN

4 Hallar los radios de convergencia de las series enteras o de potencias $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}e^{in}z^n.\quad b)\;\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z}{1-i}\right)^n.$$

SOLUCIÓN

5 Hallar el radio de convergencia de la serie de potencias $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(z-1)^n}{n^22^n}.$$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Variable compleja. Guarda el enlace permanente.