La notación o minúscula de Landau

Prroporcionamos ejercicios sobre la notación $o$ minúscula de Landau

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=o(x^2)$ cuando $x\to 0.$
  2. Demostrar que $\operatorname{sen} x-x+\dfrac{x^3}{6}=o(x^3)$ cuando $x\to 0.$
  3. Demostrar que $\sqrt{x}-1-\dfrac{x}{4}=o(x-4)$ cuando $x\to 4.$
    Solución
  1. Aplicando la regla de L’Hopital: $$\begin{aligned}
    &\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}}{x^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x+x}{2x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\\
    &=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x+1}{2}=\frac{0}{2}=0.
    \end{aligned}$$ Es decir, $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=o(x^2)$ cuando $x\to 0.$
  2. Aplicando la regla de L’Hopital: $$\begin{aligned}
    &\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x-x+\dfrac{x^3}{6}}{x^3}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}}{3x^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\\
    &=\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x+x}{6x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x +1}{6}=\frac{0}{6}=0.
    \end{aligned}$$ Es decir, $\operatorname{sen} x-x+\dfrac{x^3}{6}=o(x^3)$ cuando $x\to 0.$
  3. Aplicando la regla de L’Hopital: $$\begin{aligned}
    &\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-1-\dfrac{x}{4}}{x-4}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 4}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{4}}{1}=\frac{0}{1}=0.
    \end{aligned}$$ Es decir, $\sqrt{x}-1-\dfrac{x}{4}=o(x-4)$ cuando $x\to 4.$
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