Concepto de derivada

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de derivada.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Si $f(x)=x^2,$ hallar $f’(4)$ usando la definición de derivada.
  2. Si $f(x)=x^2,$ hallar $f’(x)$ usando la definición de derivada.
  3. Si $f(x)=x^3,$ hallar $f’(x)$ usando la definición de derivada.
  4. Si $f(x)=\dfrac{1}{x},$ hallar $f’(x)$ para todo $x$ real no nulo, usando la definición de derivada.
  5. Si $f(x)=\sqrt{x},$ hallar $f’(x)$ para todo $x$ real y positivo, usando la definición de derivada.
  6. Demostrar que si $u$ es derivable en $x$ y $f(x)=ku(x)$ con $k$ constante, entonces $f’(x)=ku’(x).$ Es decir, la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función.
  7. Demostrar que si $f$ es derivable en un punto $x_0$ de $(a,b),$ entonces es continua en $x_0.$
  8. Sea $f$ una función derivable en toda la recta real. Calcular: $$L=\lim_{h\to 0}\frac{\left[f(x+3h)\right]^2-\left[f(x-h)\right]^2}{h}.$$
  9. En un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene a $x_0$ la función $f$ verifica la relación $\left|f(x)-f(x_0)\right|\leq M(x-x_0)^2$ con $M>0$ real. Demostrar que $f$ es derivable en $x_0$ con derivada nula.
  10. Hallar $\log A,$ sabiendo que $f$ es derivable en $a,$ $f(a)>0$ y $$A=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac {f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^n.$$
    Solución
  1. Tenemos: $$f’(4)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(4+h)^2-4^2}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{16+8h+h^2-16}{h}=\lim_{h\to 0}(8+h)=8.$$ Por supuesto, podemos usar la definición alternativa: $$f’(4)=\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^2-4^2}{x-4}$$ $$=\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=\lim_{x\to 4}(x+4)=8.$$
  2. Tenemos: $$f’(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.$$
  3. Tenemos: $$f’(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}=\lim_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2.$$
  4. Tenemos:$$f’(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}$$ $$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x-x-h}{h(x+h)x}=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{(x+h)x}=-\frac{1}{x^2}.$$
  5. Tenemos: $$f’(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.$$ Multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}:$ $$f’(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
  6. Aplicando la definición de derivada y usando que el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función: $$f’(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{ku(x+h)-ku(x)}{h}$$ $$=k\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}=ku’(x).$$
  7. Para todo $x\in (a,b)$ con $x\neq x_0$ se verifica: $$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0).\qquad (1)$$ Al ser $f$ derivable en $x_0$, existe y es finito: $$f’(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Por tanto, tomando límites en $(1):$ $$\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)-f(x_0)=f’(x_0)\cdot 0=0,$$ lo cual implica que $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$ es decir $f$ es continua en $x_0.$
  8. Podemos escribir: $$\begin{aligned}L&=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\left[f(x+3h)+f(x-h)\right]\left[f(x+3h)-f(x-h)\right]}{h}\\
    &=\left(\displaystyle\lim_{h\to 0}\;(f(x+3h)+f(x-h))\right)\left(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+3h)-f(x-h)}{h}\right).
    \end{aligned}$$ Por ser $f$ derivable, es continua y por tanto: $$\displaystyle\lim_{h\to 0}\;(f(x+3h)+f(x-h))=f(x)+f(x)=2f(x).$$ Por otra parte, $$\begin{aligned}&\dfrac{f(x+3h)-f(x-h)}{h}=\dfrac{f(x+3h)-f(x)+f(x)-f(x-h)}{h}\\
    &=3\;\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{3h}+\dfrac{f(x-h)-f(x)}{-h}.\end{aligned}$$ Efectuando los cambios $k=3h$ y $s=-h:$ $$\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3\displaystyle\lim_{k\to 0}\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}+\displaystyle\lim_{s\to 0}\dfrac{f(x+s)-f(x)}{s}\\
    &=3f’(x)+f’(x)=4f’(x).\end{aligned}$$ Podemos pues concluir que $L=2f(x)\cdot 4f’(x)=8f(x)f’(x).$
  9. Para todo $x\in (a,b)$ con $x\neq x_0,$ y dado que $(x-x_0)^2=\left|x-x_0\right|^2:$ $$0\leq\left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|\leq M \left|x-x_0\right|.$$ Tomando límites cuando $x\to x_0:$ $$0\leq \lim_{x\to x_0}\left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|\leq 0,$$
    lo cual implica que $$f’(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0.$$
  10. El límite dado presenta una indeterminación del tipo $1^{+\infty},$ por tanto $A=e^{\lambda},$ siendo: $$\lambda=\lim_{n\to +\infty}\;\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}-1\right)n.$$ Ahora bien, $\log A=\lambda$, es decir: $$\log A=\frac{1}{f(a)}\lim_{n\to +\infty}\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)-f(a)}{\frac{1}{n}}.$$ Si $n\to +\infty,$ entonces $1/n\to 0.$ Usando la definición de derivada: $$\log A=\frac{1}{f(a)}f’(a)=\frac{f’(a)}{f(a)}.$$
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