Concepto de derivada

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de derivada.

TEORÍA

1 Si $f(x)=x^2,$  hallar $f’(4)$ usando la definición de derivada.

SOLUCIÓN

2 Si $f(x)=x^2,$  hallar $f’(x)$ usando la definición de derivada.

SOLUCIÓN

3 Si $f(x)=x^3,$  hallar $f’(x)$ usando la definición de derivada.

SOLUCIÓN

4 Si $f(x)=\dfrac{1}{x},$  hallar $f’(x)$ para todo $x$ real no nulo, usando la definición de derivada.

SOLUCIÓN

5 Si $f(x)=\sqrt{x},$   hallar $f’(x)$ para todo $x$ real y positivo, usando la definición de derivada.

SOLUCIÓN

6  Demostrar que si $u$ es derivable en $x$ y $f(x)=ku(x)$ con $k$ constante, entonces $f’(x)=ku’(x).$ Es decir, la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función.

SOLUCIÓN

7   Demostrar que si $f$ es derivable en un punto $x_0$ de $(a,b),$ entonces es continua en $x_0.$

SOLUCIÓN

8  Sea $f$ una función derivable en toda la recta real. Calcular: $$L=\lim_{h\to 0}\frac{\left[f(x+3h)\right]^2-\left[f(x-h)\right]^2}{h}.$$

SOLUCIÓN

9  En un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene a $x_0$ la función $f$ verifica la relación $\left|f(x)-f(x_0)\right|\leq M(x-x_0)^2$ con $M>0$ real. Demostrar que $f$ es derivable en $x_0$ con derivada nula.

SOLUCIÓN

10  Hallar $\log A,$ sabiendo que $f$ es derivable en $a,$ $f(a)>0$ y $$A=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac {f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^n.$$

SOLUCIÓN
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