Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes (orden $ n $)

TEORÍA

Enunciado
1.  Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}-2x^{\prime\prime}-3x’=0.$

2.  Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}+2x^{\prime\prime}+x’=0.$ Hallar la solución particular que cumple $x(0)=4,x’(0)=2,x^{\prime\prime}(0)=-7.$

3.  Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}+4x^{\prime\prime}+13x’=0.$

4.  Hallar la solución general de la ecuación diferencial  $$x^{(4)}+4x^{(3)}+8x^{\prime\prime}+8x’+4x=0.$$ 5.  Encontrar una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes que tenga las soluciones: $\cosh t\sin t,\;\sinh t\cos t,\;t.$

Solución
1.  La ecuación característica es $\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0$ cuyas raíces son $0,-1,3$ (simples). Una base del espacio de las soluciones es $\{e^{0t},e^{-t},e^{3t}\}=\{1,e^{-t},e^{3t}\}.$

La solución general de la ecuación es por tanto $x=C_1+C_2e^{-t}+C_3e^{3t}.$

2.  La ecuación característica es $\lambda^3+2\lambda^2+\lambda=0$ cuyas raíces son $0$ (simple) y $-1$ (doble). Una base del espacio de las soluciones es $\{1,e^{-t},te^{-t}\}.$ La solución general de la ecuación es por tanto $x=C_1+(C_2+C_3t)e^{-t}.$ Hallemos la solución particular pedida. Tenemos: $$\left \{ \begin{matrix}x=C_1+(C_2+C_3t)e^{-t}\\x’=(C_3-C_2-C_3t)e^{-t}\\x^{\prime\prime}=(C_2-2C_3-C_3t)e^{-t}.\end{matrix}\right.$$ Imponiendo las condiciones $x(0)=4,x’(0)=2,x^{\prime\prime}(0)=-7$ : $$ \left \{ \begin{matrix} C_1+C_2=4\\-C_2+C_3=2\\C_2-2C_3=-7\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos $C_1=1,C_2=3,C_3=5$, por tanto la solución particular pedida es $x=1+(3+5t)e^{-t}.$

3.  La ecuación característica es $\lambda^3+4\lambda^2+13\lambda=0$ cuyas raíces son $0$ y $-2\pm 3i$ (simples). Una base del espacio de las soluciones es $\{1,e^{-2t}\cos 3t,e^{-2t}\sin 3t\}.$  La solución general de la ecuación es por tanto $$x=C_1+(C_2\cos 3t+C_3\sin 3t)e^{-2t}.$$ 4.  La ecuación característica es $\lambda^4+4\lambda^3+8\lambda^2+8\lambda+4=0=0.$ Observemos que podemos escribirla en la forma $(\lambda^2+2\lambda+2)^2=0.$ La raíces de $\lambda^2+2\lambda+2=0$ son $-1\pm i$ (simples) por tanto las de la ecuación característica son $-1\pm i$ (dobles). Una base del espacio de las soluciones es $$\{e^{-t}\cos t,\;te^{-t}\cos t,\;e^{-t}\sin t,\;te^{-t}\sin t\}.$$ La solución general  es por tanto $$x=e^{-t}[(C_1+C_2t)\cos t+(C_3+C_4t)\sin t].$$ 5.  La solución $t=te^{0t}$ proviene necesariamente de la raíz $0$ (doble) de la ecuación característica. Por otra parte $$\cosh t\sin t=\dfrac{1}{2}e^t\sin t+\dfrac{1}{2}e^{-t}\sin t\;,\;\sinh t\cos t=\dfrac{1}{2}e^t\cos t-\dfrac{1}{2}e^{-t}\cos t.$$ Dado que el conjunto de las soluciones es un espacio vectorial, para que tenga las dos soluciones anteriores basta que tenga las soluciones $e^t\sin t,\;e^t\cos t$  que proviene de la raíz $-1+i$ (simple). La ecuación característica correspondiente es por tanto $$(\lambda-0)^2[\lambda-(1+i)][\lambda-(1-i)][\lambda-(-1+i)][\lambda-(-1-i)]=0.$$ Operando obtenemos $\lambda^6+\lambda^2=0$, que proporciona la ecuación $x^{(6)}+x^{\prime\prime}=0.$

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