Álgebra de derivadas

Proporcionamos ejercicios sobre el  Álgebra de derivadas.

TEORÍA

1  Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que $u$ y $v$ son derivables en $x\in (a,b).$ Demostrar que $u+v$ y $u-v$ son derivables en $x$ y además
$$(u+v)’(x)=u’(x)+v’(x),\quad (u-v)’(x)=u(x)-v’(x).$$

SOLUCIÓN

2  Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que $u$ y $v$ son derivables en $x\in (a,b).$ Demostrar que $u\cdot v$ es derivable en $x$ y además $$(u\cdot v)’(x)=u’(x) v(x)+u(x) v’(x).$$

SOLUCIÓN

3  Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que $u$ y $v$ son derivables en $x\in (a,b)$ y que $v(x)\neq 0.$ Demostrar que $u/v$ es derivable en $x$ y además: $$\left(\frac{u}{v}\right)’(x)=\frac{u’(x)v(x)-v’(x)u(x)}{\left(v(x)\right)^2}.$$

SOLUCIÓN

4  Sean $u,v$ y $w$ funciones derivables en el intervalo abierto $(a,b).$ Demostrar que $uvw$ es derivable en $(a,b)$ y además: $$(uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’.$$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que si $u_1,u_2,\ldots,u_n$ son funciones derivables en $(a,b),$ entonces el producto $u_1u_2\cdots u_n$ es derivable en $(a,b)$ y además: $$(u_1u_2\cdots u_n)’=u’_1u_2\cdots u_n+u_1u’_2\cdots u_n+\ldots +u_1u_2\cdots u’_n.$$

SOLUCIÓN
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