Álgebra de derivadas

Proporcionamos ejercicios sobre el  Álgebra de derivadas.

Enunciado
1. Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que $u$ y $v$ son derivables en $x\in (a,b).$ Demostrar que $u+v$ y $u-v$ son derivables en $x$ y además $$(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x),\quad (u-v)'(x)=u(x)-v'(x).$$
2. Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que $u$ y $v$ son derivables en $x\in (a,b).$ Demostrar que $u\cdot v$ es derivable en $x$ y además $$(u\cdot v)'(x)=u'(x) v(x)+u(x) v'(x).$$
3. Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que $u$ y $v$ son derivables en $x\in (a,b)$ y que $v(x)\neq 0.$ Demostrar que $u/v$ es derivable en $x$ y además: $$\left(\frac{u}{v}\right)'(x)=\frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{\left(v(x)\right)^2}.$$
4. Sean $u,v$ y $w$ funciones derivables en el intervalo abierto $(a,b).$ Demostrar que $uvw$ es derivable en $(a,b)$ y además: $$(uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’.$$
5. Demostrar que si $u_1,u_2,\ldots,u_n$ son funciones derivables en $(a,b),$ entonces el producto $u_1u_2\cdots u_n$ es derivable en $(a,b)$ y además: $$(u_1u_2\cdots u_n)’=u’_1u_2\cdots u_n+u_1u’_2\cdots u_n+\ldots +u_1u_2\cdots u’_n.$$

Solución
1. Usando la definición de derivada y la de suma de funciones: $$(u+v)'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(u+v)(x+h)-(u+v)(x)}{h}$$ $$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)+v(x+h)-v(x)}{h}.$$ Usando que el límite de la suma es la suma de los límites si ambos límites existen: $$(u+v)'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}=u'(x)+v'(x).$$ Análoga demostración para $ (u-v)'(x)=u'(x)-v'(x).$
2. Usando la definición de derivada y la de producto de funciones: $$(u\cdot v)'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(u\cdot v)(x+h)-(u\cdot v)(x)}{h}$$ $$
   \displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h) v(x+h)-u(x) v(x)}{h}.$$ Sumando y restando en el numerador $u(x+h) v(x)$ y sacando factores comunes: $$(u\cdot v)'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{v(x)[u(x+h)-u(x)]+u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}$$ $$\displaystyle=v(x)\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\left(\lim_{h\to 0}u(x+h)\right)\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}.$$ Dado que $u$ es continua en el punto $x$ (por ser derivable en él), se verifica $\lim_{h\to 0}u(x+h)=u(x)$ y por tanto, $$(u\cdot v)'(x)=v(x)u'(x)+u(x)v'(x).$$
3. Usando la definición de derivada y la de cociente de funciones: $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\dfrac{u(x + h )}{v(x + h)} – \dfrac{u(x)}{v(x)}}{h}$$ $$=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{u(x)v(x+h)} $$ $$=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{v(x)v(x+h)} $$ $$=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{v(x)\left(u(x+h)-u(x)\right)-u(x)\left(v(x+h)-v(x)\right)}{v(x)v(x+h)}$$ $$=\lim_{h \to 0} \frac{\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}v(x)-\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}u(x)}{v(x)v(x+h)}.$$ Dado que $v$ es continua en el punto $x$ (por ser derivable en él), se verifica $\lim_{h\to 0}v(x+h)=v(x)$ y por tanto, $$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{\left(v(x)\right)^2}.$$
4. Usando que el producto de funciones derivables es derivable y la fórmula de la derivada del producto de dos funciones: $$\begin{aligned}&\left(uvw\right)’=\left((uv)w\right)’=(uv)’w+(uv)w’\\&=(u’v+uv’)w+uvw’=u’vw+uv’w+uvw’.\end{aligned}$$
5. Sabemos que si $u_1$ y $u_2$ son funciones derivables en $(a,b),$ entonces $u_1u_2$ es derivable en $(a,b)$ y además $(u_1u_2)’=u’_1u_2+u_1u’_2.$ Es decir, la propiedad es cierta para $n=2.$
   Sea cierta para $n$ y sean $u_1,u_2,\ldots,u_n,u_{n+1}$ derivables en $(a,b).$ Entonces, el producto $u_1u_2\cdots u_nu_{n+1}$ es derivable en $(a,b)$ pues es el producto $\left(u_1u_2\cdots u_n\right)u_{n+1}$ de dos funciones derivables. Además: $$\left(u_1u_2\cdots u_nu_{n+1}\right)’=\left(\left(u_1u_2\cdots u_n\right)u_{n+1}\right)’$$ $$=\left(u_1u_2\cdots u_n\right)’u_{n+1}+\left(u_1u_2\cdots u_n\right)u’_{n+1}$$ $$=\left(u’_1u_2\cdots u_n+u_1u’_2\cdots u_n+\ldots +u_1u_2\cdots u’_n\right)u_{n+1}+u_1u_2\cdots u_nu’_{n+1}$$ $$=u’_1u_2\cdots u_nu_{n+1}+u_1u’_2\cdots u_nu_{n+1}$$ $$+\ldots+u_1u_2\cdots u’_nu_{n+1}+u_1u_2\cdots u_nu’_{n+1}.$$ Es decir, la propiedad es cierta para $n+1.$