Propiedades de los límites (2)

Enunciado
1. $a)$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^m}=0$ para cualquier $m$ entero positivo.
$b)$ Usando el apartado anterior, calcular $$L=\lim_{n\to \infty}\frac{2n^3+n^2-n+3}{5n^3+7n-4}.$$ 2. $a)$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{P(n)}{Q(n)},$ siendo $P,Q$ polinomios del mismo grado.
$b)$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{P(n)}{Q(n)},$ siendo $P,Q$ polinomios con $\operatorname{grado}P<\operatorname{grado}Q.$
$c)$ Calcular $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{-7n^2+8n-5}{2n^2+n+1} \text{ y} \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2n+3}{4n^2+2n-1}.$$ 3. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n,$ siendo:

$a)\;\;x_n=\dfrac{2+\dfrac{2n}{n+1}}{9+\dfrac{n}{n^2+1}}.\;\;b)\;\;x_n=\dfrac{4+(1/2)^n}{(1/5)^n+6}.\;\;c)\;\; \;x_n=\left(\dfrac{n^2+2}{3n^2+5}\right)^4.$

4. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n,$ siendo:

$a)\;\;x_n=\dfrac{3n^2+2}{6n+1}-\dfrac{n^2+2}{2n+3}.\;\;b)\;\;x_n=\dfrac{\operatorname{sen}n}{n}.\;\;c) \;\;x_n=\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}.$
5. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}\right).$
6. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\; 0.\underbrace{999\ldots 9}_{n}.$
7. Demostrar que si $\{a_n\}$ es convergente con límite $a,$ entonces $\left\{\left|a_n\right|\right\}\to \left|a\right|.$ ¿Es cierto el recíproco?
8. Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\;\left|\dfrac{-3n^2+8n+1}{5n^2+n+1}\right|.$
9. Demostrar el teorema del Sandwich o de las tres sucesiones:
Supongamos existe $n_0$ número natural tal que para todo $n\geq n_0$ se verifica $x_n\leq a_n\leq y_n.$ Supongamos además que $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$ son convergentes y $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n=\lim_{n\to +\infty}y_n=L.$ Entonces, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_n=L.$
10. Si $a_n=\dfrac{7^n}{n^n},$ demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} a_n=0$ usando el teorema del Sandwich.
11. Demostrar que si $\left\{\left|a_n\right|\right\}\to 0,$ entonces $\{a_n\}\to 0.$

Solución
1. $a)$ Para todo $n\geq 1,$ $$\left|\dfrac{1}{n^m}-0\right|=\dfrac{1}{n^m}<\dfrac{1}{n}.$$ Se verifica $\dfrac{1}{n}<\epsilon$ si $n>\dfrac{1}{\epsilon},$ en consecuencia también ocurre $\dfrac{1}{n^m}<\epsilon$ si $n>\dfrac{1}{\epsilon}.$ Es decir, $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^m}=0.$

$b)$ Dividiendo numerador y denominador entre $n^3:$ $$L=\lim_{n\to \infty}\frac{2+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}+3\cdot\dfrac{1}{n^3}}{5+7\cdot\dfrac{1}{n^2}-4\cdot\dfrac{1}{n^3}}.$$ Usando el apartado anterior y conocidas propiedades de los límites: $$L=\frac{2+0-0+3\cdot 0}{5+7\cdot 0-4\cdot 0}=\frac{2}{5}.$$

2. $a)$ Tenemos: $$L=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{P(n)}{Q(n)}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1n+a_0}{b_kn^k+b_{k-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n+b_0},$$ con $a_k$ y $b_k$ no nulos. Dividiento numerador y denominador entre $n^k:$ $$L=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_k+a_{k-1}\cdot\dfrac{1}{n}+\cdots+a_1\cdot\dfrac{1}{n^{k-1}}+a_0\cdot\dfrac{1}{n^k}}{b_k+b_{k-1}\cdot\dfrac{1}{n}+\cdots+b_1\cdot\dfrac{1}{n^{k-1}}+b_0\cdot\dfrac{1}{n^k}}$$ $$=\dfrac{a_k+a_{k-1}\cdot 0+\cdots+a_1\cdot 0+a_0\cdot0}{b_k+b_{k-1}\cdot0+\cdots+b_1\cdot0+b_0\cdot0}=\frac{a_k}{b_k}.$$ Es decir, el límite es el cociente entre el coeficiente de mayor grado del numerador y el de mayor grado del denominador.

$b)$ Siendo el grado del numerador menor que el del denominador, podemos escribir: $$L=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{P(n)}{Q(n)}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{0n^k+\cdots+a_1n+a_0}{b_kn^k+b_{k-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n+b_0},$$ con $b_k$ no nulo. Dividiento numerador y denominador entre $n^k:$ $$L=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{0+\cdots+a_1\cdot\dfrac{1}{n^{k-1}}+a_0\cdot\dfrac{1}{n^k}}{b_k+b_{k-1}\cdot\dfrac{1}{n}+\cdots+b_1\cdot\dfrac{1}{n^{k-1}}+b_0\cdot\dfrac{1}{n^k}}$$ $$=\dfrac{0+\cdots+a_1\cdot 0+a_0\cdot0}{b_k+b_{k-1}\cdot0+\cdots+b_1\cdot0+b_0\cdot0}=\frac{0}{b_k}=0.$$ $c)$ Usando los apartados anteriores, podemos escribir directamente: $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{-7n^2+8n-5}{2n^2+n+1}=-\dfrac{7}{2},\quad\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2n+3}{4n^2+2n-1}=0.$$

3. Usando conocidas propiedades:

$a)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2+\dfrac{2n}{n+1}}{9+\dfrac{n}{n^2+1}}=\dfrac{2+2}{9+0}=\dfrac{4}{9}.$

$b)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{4+(1/2)^n}{(1/5)^n+6}=\dfrac{4+0}{0+6}=\dfrac{2}{3}.$

$c)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{n^2+2}{3n^2+5}\right)^4=\left(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2+2}{3n^2+5}\right)^4=\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}.$

4. $a)$ Usando conocidas propiedades: $$L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(3n^2+2)(2n+3)-(6n+1)(n^2+2)}{(6n+1)(2n+3)}$$ $$=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{8n^2-8n+4}{12n^2+8n+3}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.$$ $b)$ Podemos escribir $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}\cdot \operatorname{sen}n,$ siendo $\{1/n\}$ un infinitésimo y $\{\operatorname{sen}n\}$ acotada, en consecuencia $L=0.$

$c)$ Usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética: $$1+2+\cdots+n=\dfrac{1+n}{2}\cdot n,$$ por tanto $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n(n+1)}{2n^2}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2+n}{2n^2}=\dfrac{1}{2}.$

5. Multiplicando y dividiendo por $\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}:$ $$\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}=\frac{(n^2+n)-(n^2-n)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}.$$ Dividiendo numerador y denominador entre $n:$ $$\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}=\frac{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}}.$$Por tanto, $$L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.$$

6. El término enésimo $x_n$ de la sucesión es: $$x_n=0.\underbrace{999\ldots 9}_{n}=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots+\frac{9}{10^n}$$ $$=\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots+\frac{1}{10^{n-1}}\right)$$ $$=\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{10}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{10}\right)^n\right).$$ Usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica: $$1+\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{10}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{10}\right)^n=\frac{1\left(\frac{1}{10^n}-1\right)}{\frac{1}{10}-1}.$$ Usando que si $\lvert q \rvert<1,$ entonces $\lim q^n=0:$ $$L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{9}{10}\cdot \frac{\frac{1}{10^n}-1}{\frac{1}{10}-1}=\frac{9}{10}\cdot \frac{-1}{-\frac{9}{10}}=1.$$ 7. Si $\epsilon>0,$ existe $n_0$ natural tal que $\left|a_n-a\right|<\epsilon$ para todo $n\geq n_0.$ Entonces, $$\left| \left|a_n \right|-\left| a\right|\right|\leq \left|a_n-a \right|<\epsilon,\; \forall n\geq n_0$$ lo cual implica que $\left\{\left|a_n\right|\right\}\to \left|a\right|.$ El recíproco no es cierto, basta elegir la sucesión $\{(-1)^n\}.$ Se verifica $\left\{\left|(-1)^n\right|\right\}\to 1,$ sin embargo $\{(-1)^n\}$ no es convergente.

8. Tenemos: $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\;\left|\dfrac{-3n^2+8n+1}{5n^2+n+1}\right|=\left|\lim_{n\to +\infty}\dfrac{-3n^2+8n+1}{5n^2+n+1}\right|=\left|\frac{-3}{5}\right|=\dfrac{3}{5}.$$

9. Como $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n=\lim_{n\to +\infty}y_n=L,$ dado $\epsilon >0$ existen $n_1,n_2$ números naturales tales que $$\left|x_n-L\right|<\epsilon,\;\left|y_n-L\right|<\epsilon$$ Sea $n_3=\max \{n_0,n_1,n_2\}.$ Para todo $n\geq n_3$ se verifica: $$L-\epsilon < x_n\leq a_n\leq y_n < L+\epsilon,$$ lo cual implica que $\left|a_n-L\right| < \epsilon$ para todo $n\geq n_3,$ es decir $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_n=L.$

10. Se verifica $7/n\leq1/2\Leftrightarrow 14\leq n.$ Es decir, si $n\geq 14:$ $$0\leq \frac{7^n}{n^n}\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.$$ Por otra parte, y teniendo en cuenta que $\left|1/2\right|<1:$ $$\lim_{n\to +\infty} 0=\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n =0,$$ lo cual implica que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} a_n=0.$

11. Para todo $n$ se verifica $-\left|a_n\right|\leq a_n\leq \left|a_n\right|.$ Por otra parte: $$\lim_{n\to +\infty}\left(-\left|a_n\right|\right)=-\lim_{n\to +\infty}\left|a_n\right|=-0=0.$$ Es decir, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(-\left|a_n\right|\right)=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left|a_n\right|=0,$ lo cual implica (por el teorema del Sandwich), que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_n=0.$

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