Ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes (orden $n$)

TEORÍA

Enunciado
1.  Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}-x^{\prime\prime}+x’-x=t^2+t.$$ 2. Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}-x^{\prime\prime}=12t^2+6t.$$ 3.  Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime}-6x’+9x=25e^t\sin t.$$ 4.  Resolver la ecuación diferencial $x^{\prime\prime}+x=\sin ^2t,$ con las condiciones iniciales $x(0)=0$, $x’(0)=1.$

Solución
1.  Hallemos la solución general de la homogénea. Las soluciones de la ecuación característica $\lambda^3-\lambda^2+\lambda -1=0$ son $1,\pm i$ (simples). La solución general de la homogénea es por tanto $x_h(t)=C_1e^t+C_2\cos t+C_3\sin t.$ Identificando $t^2+t$ con $b(t)$ de (3): $$t^2+t=e^{0t }\left((t^2+t)\cos 0 t+0\sin 0 t\right),$$ deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma $x_p(t)=at^2+bt+c.$ Obligamos que sea solución: $$0-(2a)+(2at+b)-(at^2+bt+c)=t^2+t.$$ Identificando coeficientes y resolviendo el sistema obtenemos $a=-1,\;b=-3,\;c=-1.$ La solución general de la ecuación dada es $$x(t)=-t^2-3t-1+C_1e^t+C_2\cos t+C_3\sin t.$$

2.  Hallemos la solución general de la homogénea. Las soluciones de la ecuación característica $\lambda^3-\lambda^2=0$ son $0$ (doble) y $1$ (simple). La solución general de la homogénea es por tanto $x_h(t)=C_1+C_2t+C_3e^t.$ Identificando   $12t^2+6t$  con  $b(t)$ de (3): $$12t^2+6t=e^{0t }\left((12t^2+6t)\cos 0 t+0\sin 0 t\right),$$ deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma $x_p(t)=t^2(at^2+bt+c)=at^4+bt^3+ct^2.$ Obligamos que sea solución: $$(24at+6b)-(12at^2+6bt+2c)=12t^2+6t.$$ Identificando coeficientes y resolviendo el sistema obtenemos $a=-1,\;b=-5,\;c=-15.$ La solución general de la ecuación dada es $$x(t)=-t^4-5t^3-15t^2+C_1+C_2t+C_3e^t.$$ 3.  Hallemos la solución general de la homogénea. La solución de la ecuación característica $\lambda^2-6\lambda +9=0$ es $3$ (doble). La solución general de la homogénea es por tanto $x_h(t)=C_1e^{3t}+C_2te^{3t}.$ Identificando   $25e^t\sin t$  con  $b(t)$ de (3): $$25e^t\sin t=e^{t }\left(0\cos  t+25\sin t\right),$$ deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma $x_p(t)=e^t(a\cos t+b\sin t).$ Derivando: $$\left \{ \begin{matrix} x_p(t)=e^t(\cos t+b\sin t)\\x’_p(t)=e^t((a+b)\cos t+(b-a)\sin t)\\x”_p(t)=e^t(2b\cos t-2a\sin t).\end{matrix}\right.$$ Obligando a que $x_p(t)$ sea solución, identificando coeficientes y resolviendo el sistema resultante, obtenemos $a=4,\;b=3.$ La solución general de la ecuación dada es $$x(t)=e^t(4\cos t+3\sin t)+e^{3t}(C_1+C_2t).$$ 4.  Ver Superposición de soluciones.

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