Subespacios transversales

Estudiamos propiedades de los subespacios transversales.

Enunciado
Sea $E$ un espacio vectorial real. Se dice que dos subespacios vectoriales $U$ y $V$ son transversales cuando $U+V=E.$ Se pide:

a) Determinar cuales de las nueve parejas ordenadas posibles (formadas por dos de estos tres subespacios) son transversales. Justificar la respuesta. $$U=\{x,x,x):x\in \mathbb{R}\}\;,\;V=\{x,x,y):x,y\in \mathbb{R}\}\;,\;W=\{x,y,0):x,y\in \mathbb{R}\}.$$ b) Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que si $f$ transforma subespacios transversales de $E$ en subespacios transversales de $F$, entonces $f$ es sobreyectiva.

c) Enunciar la proposición recíproca de la anterior y estudiar su validez (en caso de ser verdadera dar una demostración, y en caso contrario construir un contraejemplo).

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
a) Los subespacios dados se pueden escribir en la forma $$U=\langle(1,1,1)\rangle\;,\;V=\langle (1,1,0),(0,0,1)\rangle\;,\;W=\langle (1,0,0),(0,1,0)\rangle.$$ Sabemos que se obtiene un sistema generador de la suma de dos subespacios mediante la unión de un sistema generador de un subespacio con un sistema generador del otro. Es decir $$U+U=\langle(1,1,1)\rangle$$ $$V+V=\langle(1,1,0),(0,01)\rangle$$ $$W+W=\langle(1,0,0),(0,1,0)\rangle$$ $$U+V=V+U=\langle(1,1,1),(1,1,0),(0,0,1)\rangle$$ $$U+W=W+U=\langle(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\rangle$$ $$V+W=W+V=\langle(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)\rangle$$ Para que alguna de las parejas anteriores determinen subespacios transversales, el rango del sistema generador correspondiente ha de ser 3. Claramente las tres primeras parejas no determinan subespacios transversales. Los rangos de los otros sistemas generadores son $$\textrm{rg}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}=2\;,\;\textrm{rg}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}=3\;,\;\textrm{rg}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}=3.$$ Se concluye pues que de las nueve parejas, las que determinan subespacios transversales son $(U,W),\;(W,U),\;(V,W)$ y $(W,V).$

b) Los subespacios $\{0\}$ y $E$ son transversales en $E$ pues $\{0\}+E=E.$ Por hipótesis los subespacios $f(\{0\})$ y $f(E)$ son transversales en $F$ es decir,  $f(\{0\})+f(E)=F.$ Como $f$ es lineal,  $f(\{0\})=\{0\}$ y por tanto,  $f(E)=F.$ En consecuencia,  $f$ es sobreyectiva.

c) La proposición recíproca es:

Si $f$ es sobreyectiva, entonces $f$ transforma subespacios transversales de $E$ en subespacios transversales de $F.$

Veamos que es cierta. En efecto, sean $U$ y $V$ subespacios transversales en $E$ es decir, $U+V=E.$ Tenemos que demostrar que $f(U)$ y $f(V)$ lo son en $F.$ Evidentemente $f(U)+f(V)\subset F.$ Demostremos la otra inclusión.

Como $f$ es sobreyectiva, para todo $y\in F$ existe $x\in E$ tal que $y=f(x).$ Por otra parte, al ser $U+V=E$, $x$ se puede expresar en la forma $x=u+v$ con $u\in U$ y $v\in V.$ Dado que $f$ es lineal: $$y=f(x)=f(u+v)=f(u)+f(v)\in f(U)+f(V).$$ Es decir, $F\subset f(U)+f(V),$ lo cual concluye la demostración.

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