Derivabilidad absoluta

Se define la derivabilidad absoluta y estudiamos algunas de sus propiedades.

Enunciado
Sea $f$ una función real y sea $a$ un punto interior del dominio de $f.$ Diremos que $f$ es absolutamente derivable en $a$ si la función $|f|$ es derivable en $a.$ Estudiar si son ciertas o no, las siguientes proposiciones:
1. Si $f$ es absolutamente derivable en $a,$ entonces $f$ es continua en $a.$
2. Si $f$ es derivable en $a,$ entonces $f$ es absolutamente derivable en $a.$
3. Si $f$ es derivable en $a,$ y $f(a)\neq 0$ entonces $f$ es absolutamente derivable en $a.$
4. Si $f$ es absolutamente derivable en $a,$ y $f(a)\neq 0$ entonces $f$ es derivable en $a.$
5. Si $f$ es absolutamente derivable en $a,$ continua en $a$ y $f(a)\neq 0$ entonces $f$ es derivable en $a.$
6. Supongamos que $f(a)=0$ y que $f$ es derivable en $a.$ Entonces $f$ es absolutamente derivable en $a,$ si y sólo si $f'(a)=0.$
7. Si $f$ y $g$ son absolutamente derivable en $a$ entonces $f\cdot g$ (producto) es absolutamente derivable en $a.$
8. Si $f$ y $g$ son absolutamente derivable en $a$ entonces $f+ g$ (suma) es absolutamente derivable en $a.$

   (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. La proposición es falsa. En efecto, consideremos la función: $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;,\quad f(x)=\left \{ \begin{matrix} \;\;1 & \mbox{ si }& x\geq 0\\-1 & \mbox{si}& x<0.\end{matrix}\right.$$ Entonces, $|f|(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}$ con lo cual  $|f|'(x)=0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y en particular $|f|'(0)=0.$ La función $f$ es pues absolutamente derivable en $a=0,$ sin embargo es claro que no es continua en $a.$
2. La proposición es falsa. En efecto, consideremos la función $f(x)=x$ y el punto $a=0.$ Entonces $f'(0)=1,$ sin embargo $|f|(x)=|x|$ no es derivable en $0$ como bien es conocido.
3. La proposición es cierta. En efecto, si $f$ es derivable en $a,$ entonces es continua en $a.$ Al ser $f(a)\neq 0$ y por una conocida propiedad, existe un $\epsilon>0$ tal que $f(x)$ tiene el mismo signo que $f(a)$ en $I=(a-\epsilon,a+\epsilon).$ Si $f(a)>0,$ entonces $|f|=f$ en $I$ y por tanto $|f|'(a)=f'(a).$ Si $f(a)<0,$ entonces $|f|=-f$ en $I$ y por tanto $|f|'(a)=-f'(a).$ Concluimos que $f$ es absolutamente derivable en $a.$
4. La proposición es falsa. En efecto, consideremos la función $f$ del apartado 1 y $a=0.$ Esta función es absolutamente derivable en $a$ según vimos y cumple $f(a)\neq 0.$ Sin embargo no es derivable en $a$ al no ser continua en este punto.
5. La proposición es cierta. En efecto, si $f$ es continua en $a$ y $f(a)\neq 0$ existe un $\epsilon>0$ tal que $f(x)$ tiene el mismo signo que $f(a)$ en $I=(a-\epsilon,a+\epsilon).$ Si $f(a)>0,$ entonces $f=|f|$ en $I$ y por ser $f$ absolutamente derivable en $a,$ $f'(a)=|f|'(a).$  Si $f(a)<0,$ entonces $f=-|f|$ en $I$ y por ser $f$ absolutamente derivable en $a,$ $f'(a)=-|f|'(a).$ Es decir, $f$ es derivable en $a.$
6. La proposición es cierta. En efecto, sea $f(a)=0$ y  $f$ derivable en $a.$ Veamos que $$f \text{ es absolutamente derivable en }a\Leftrightarrow f'(a)=0.$$ $\Rightarrow )$ Por ser $f$ derivable en $a$ y $f(a)=0,$ existe y es finito: $$f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)}{h}.\qquad (1)$$ Por ser $f$ absolutamente derivable en $a$ y $f(a)=0,$ existe y es finito: $$\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{|f(a+h)|}{h}.\qquad (2)$$ Tomando valor absoluto en (1): $$|f'(a)|=\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{|f(a+h)|}{|h|}.$$ Por tanto $$|f'(a)|=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{|f(a+h)|}{|h|}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{|f(a+h)|}{h},$$ $$
   |f'(a)|=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\frac{|f(a+h)|}{|h|}=-\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\frac{|f(a+h)|}{h}.$$ Por (2), existe $\lim_{h \to 0}|f(a+h)|/h$ y por tanto los límites por la derecha e izquierda coinciden. Es decir, $$|f'(a)|=-|f'(a)|\Rightarrow 2|f'(a)|=0\Rightarrow |f'(a)|=0\Rightarrow f'(a)=0.$$ $\Leftarrow )$ Por hipótesis $f(a)=0$ y $f$ es derivable en $a$ con $f'(a)=0.$ Veamos que $f$ es absolutamente derivable en $a.$ En efecto, $f(a)=0$ y $f'(a)=0$ implica que $\lim_{h\to 0}f(a+h)/h=0.$ Entonces, dado un $\epsilon >0$ se verifica $|f(a+h)/h|<\epsilon$ para $h$ suficientemente próximo a $0.$ Ahora bien, $$\left | \dfrac{|f(a+h)|}{h}\right |=\left | \dfrac{f(a+h)}{h}\right |.$$ Se deduce que $\lim_{h\to 0}|f(a+h)|/h=0,$ es decir, $f$ es absolutamente derivable en $a.$
7. La proposición es cierta. En efecto, si $f$ y $g$ son absolutamente derivables en $a$, las funciones $|f|$ y $|g|$ son derivables en $a.$ Como el producto de funciones derivables es derivable, $|f||g|=|fg|$ es derivable en $a.$ Es decir, $fg$ es absolutamente derivable en $a.$
8. La proposición es falsa. En efecto, elijamos las funciones $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \;\;x+1 & \mbox{ si }& x\geq 0\\-x-1 & \mbox{si}& x<0\end{matrix}\right.\quad g(x)=\left \{ \begin{matrix} \;\;x-1 & \mbox{ si }& x\geq 0\\-x+1 & \mbox{si}& x<0.\end{matrix}\right.$$ En un entorno de $0$ tenemos $|f(x)|=x+1$ y $|g(x)|=-x+1$ lo cual implica que $f$ y $g$ son absolutamente derivables en $0.$ Por otra parte: $$f(x)+g(x)=\left \{ \begin{matrix} \;\;2x & \mbox{ si }& x\geq 0\\-2x & \mbox{si}& x<0.\end{matrix}\right.$$ Por tanto, $|f(x)+g(x)|=|2x|,$ que no es derivable en $a=0,$ basta usar el hecho de que $|x|$ no es derivable en $a=0.$