Ecuación diferencial compleja

Enunciado
Se considera la ecuación diferencial con  condiciones iniciales $$z^{\prime\prime}+cz=h(t)\;,\quad z(0)=\gamma_0,\;z’(0)=\gamma_1.\qquad (*)$$ La incógnita es la función compleja $z(t)\;(\mathbb{R}\to \mathbb{C})$, $c,\gamma_0,\gamma_1$ son números complejos y $h(t)$ una función compleja  conocida ($\mathbb{R}\to \mathbb{C}$).

Por otro lado, se considera el sistema diferencial con condiciones iniciales $$\left \{ \begin{matrix}x^{\prime\prime}+ax-by=f(t)\\y^{\prime\prime}+bx+ay=g(t)\end{matrix}\right.\;,\quad \left \{ \begin{matrix}x(0)=\alpha_0\;,\; y(0)=\beta_0\\x’(0)=\alpha_1\;,\; y’(0)=\beta_1.\end{matrix}\right.\qquad (**)$$ Las incógnitas son las funciones reales $x(t),y(t)\;(\mathbb{R}\to \mathbb{R})$, $\alpha_0,\beta_0,\alpha_1,\beta_1$, son números reales, y $f(t),g(t)$ son funciones reales continuas conocidas ($\mathbb{R}\to \mathbb{R}$).

Se supone que los problemas $(*)$ y $(**)$ están relacionados mediante $$c=a+ib,\;\gamma_0=\alpha_0+i\beta_0,\;\gamma_1=\alpha_1+i\beta_1,\;h(t)=f(t)+ig(t).$$ Se pide:

1. Enunciar con precisión un Teorema que exprese la equivalencia entre los problemas $(*)$ y $(**).$
2. Demostrar el Teorema anterior.
3. Aplicar el Teorema para resolver el sistema diferencial $$\left \{ \begin{matrix}x^{\prime\prime}-2y=10\cos t\\y^{\prime\prime}+2x=10\sin t\end{matrix}\right.$$ con las condiciones iniciales $x(0)=y(0)=y’(0)=0,\;x’(0)=1.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Dadas dos funciones $x(t),y(t)$ reales de variable real, la derivada de la función $z(t)=x(t)+iy(t)$ se define como $z’(t)=x’(t)+iy’(t).$ Esto sugiere el siguiente enunciado:

Sean $x,y$ funciones reales de variable real y sea $z=x+iy.$ Entonces, $z $ es solución de la ecuación  $(*)\;\Leftrightarrow (x,y)$ es solución del sistema  $(**)$

2. Veamos que el enunciado anterior es cierto, con lo cual se convertirá en un teorema.

$\Rightarrow)$ Sea $z=x+iy$ solución de $(*).$ Usando $z’=x’+iy’,$ $z”=x”+iy”$ y las relaciones dadas, se verifica: $$\left \{ \begin{matrix}x^{\prime\prime}+iy^{\prime\prime}+(a+ib)(x+iy)=f(t)+ig(t),\\x(0)+iy(0)=\alpha_0+i\beta_0,\;x’(0)+iy’(0)=\alpha_1+i\beta_1.\end{matrix}\right.$$ Igualando partes real e imaginaria: $$\left \{ \begin{matrix}x^{\prime\prime}+ax-by=f(t)\\y^{\prime\prime}+bx+ay=g(t)\end{matrix}\right.\;,\quad \left \{ \begin{matrix}x(0)=\alpha_0\;,\; y(0)=\beta_0\\x’(0)=\alpha_1\;,\; y’(0)=\beta_1.\end{matrix}\right.$$ Es decir, $(x,y)$ es solución del sistema $(**)$.

$\Leftarrow)$ Sea $(x,y)$ solución del sistema $(**).$ Usando de nuevo $z’=x’+iy’,$ $z^{\prime\prime}=x^{\prime\prime}+iy^{\prime\prime}$ y las relaciones dadas, se verifica: $$z^{\prime\prime}+cz=h(t)\;,\quad z(0)=\gamma_0,\;z’(0)=\gamma_1$$ Es decir, $z$ es solución de la ecuación $(*).$

3. Para el sistema dado tenemos: $$c=a+bi=2i,\;\gamma_0=\alpha_0+i\beta_0=0,\;\gamma_1=\alpha_1+i\beta_1=1,$$ $$ h(t)=f(t)+ig(t)=10\cos t+10i\sin t=10e^{it}.$$ Según el teorema demostrado en el apartado anterior el sistema dado es equivalente a la ecuación $$z^{\prime\prime}+2iz=10e^{it}\;,\quad z(0)=0,\;z’(0)=1.\qquad (1)$$ La ecuación característica es $\lambda^2+2i=0$ y sus raíces $\lambda=\sqrt{-2i}=\pm (1-i).$ La solución general de la homogénea es $z_h=C_1e^{(1-i)t}+C_2e^{-(1-i)t}.$ Una solución particular de la completa es de la forma $z_p=Ce^{it}.$ Obligando a que sea solución obtenemos $$-Ce^{it}+2iCe^{it}=10e^{it}\Rightarrow (-1+2i)C=10\Rightarrow C=-(2+4i).$$ La solución general de la completa es por tanto $$z=-(2+4i)e^{it}+C_1e^{(1-i)t}+C_1e^{-(1-i)t}.$$ Imponiendo las condiciones iniciales $z(0)=0,\;z’(0)=1$ obtenemos el sistema $$\left \{ \begin{matrix}C_1+C_2=2+4i\\(1-i)C_1+(-1+i)C_2=-3+2i\end{matrix}\right.$$ cuya solución es $C_1=(-1+7i)/4,\;C_2=9(1+i)/4.$ Es decir, la solución de $(1)$ es $$z=-(2+4i)e^{it}+\dfrac{-1+7i}{4}e^{(1-i)t}+\dfrac{9(1+i)}{4}e^{-(1-i)t}$$ $$=-(2+4i)(\cos t +i\sin t)+\dfrac{-1+7i}{4}e^t(\cos t -i\sin t)+\dfrac{9(1+i)}{4}e^{-t}(\cos t +i\sin t).$$ Separando partes real e imaginaria obtenemos la solución del sistema $$\left \{ \begin{matrix}x=-2\cos t+4\sin t+\dfrac{e^t}{4}(-\cos t+7\sin t)+\dfrac{e^{-t}}{4}(\cos t-\sin t)\\\\
y=-4\cos t-2\sin t+\dfrac{e^t}{4}(7\cos t+\sin t)+\dfrac{e^{-t}}{4}(\cos t+\sin t).\end{matrix}\right.$$

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