Integral de superficie de una función homogénea

Enunciado
En $\mathbb{R}^3$, sea $F(\vec{r})\;(\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})$ una función escalar homogénea de grado $m>0.$ Sea $S$ la esfera unidad $x^2+y^2+z^2\leq 1$ y sea $\partial S$ su superficie frontera.

1. Transformar la integral de superficie $\displaystyle\iint_{\partial S}F(\vec{r})\;d\sigma$ en una integral triple extendida a la esfera $S.$

2. Como aplicación de lo anterior, calcular la integral de superficie $$\displaystyle\iint_{\partial S}(Ax^4+By^4+Cz^4+Dx^2y^2+Ey^2z^2+Fz^2x^2)\;d\vec{\sigma}.$$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1.  El vector unitario $\vec{n}$ es justamente $\vec{r}$, por tanto $\vec{r}\cdot \vec{n}= \left\|{\vec{r}}\right\|^2=1.$ Podemos entonces expresar $$\displaystyle\iint_{\partial S}F(\vec{r})\;d\sigma=\displaystyle\iint_{\partial S}F(\vec{r})\vec{r}\cdot \vec{n}\;d\sigma.$$ Suponiendo que $F$ es de clase 1 en $S$ y aplicando el teorema de la divergencia: $$\displaystyle\iint_{\partial S}F(\vec{r})\;d\sigma=\displaystyle\iiint_{S}\textrm{div}\;\left(\left(F(\vec{r})\cdot \vec{r}\right)\right)\;dV$$ $$=\displaystyle\iiint_{S}\left(\nabla F\left(\vec{r}\right)\cdot \vec{r}+F\left(\vec{r}\right)\textrm{div}\;\vec{r}\right)\;dV.$$ Como la función $F$ es homogénea de grado $m$, se verifica $\nabla F\left(\vec{r}\right)\cdot \vec{r}=mF\left(\vec{r}\right)$ como consecuencia del teorema de Euler. Por otra parte, al ser $\textrm{div}\;\vec{r}=3$ queda: $$\displaystyle\iint_{\partial S}F(\vec{r})\;d\sigma=(m+3)\displaystyle\iiint_{S}F\left(\vec{r}\right)\;dV.$$

2. La función integrando $F(x,y,z)$ es homogénea de grado 4 y según el apartado anterio $$\displaystyle\iint_{\partial S}F(x,y,z)\;d\sigma=7\displaystyle\iiint_{S}F(x,y,z)\;dV.$$ Por razones de simetría de la esfera: $$\displaystyle\iiint_{S}x^4\;dV=\displaystyle\iiint_{S}y^2\;dV=\displaystyle\iiint_{S}z^2\;dV,$$ $$\displaystyle\iiint_{S}x^2y^2\;dV=\displaystyle\iiint_{S}y^2z^2\;dV=\displaystyle\iiint_{S}z^2x^2\;dV.$$ Usando coordenadas esféricas $$\displaystyle\iiint_{S}z^4\;dV=\displaystyle\int_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int_0^{\pi}d\beta\displaystyle\int_0^{1}\rho^6\cos^4 \beta \sin \beta\;d\beta$$ $$=
\dfrac{2\pi}{7}\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^4 \beta \sin \beta\;d\beta=\dfrac{2\pi}{7}\left[-\dfrac{\cos^5 \beta}{5}\right]_0^{\pi}=\dfrac{4\pi}{35}.$$

$$\displaystyle\iiint_{S}x^2z^2\;dV=\displaystyle\int_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int_0^{\pi}d\beta\displaystyle\int_0^{1}\rho^6\cos^2 \beta \sin^3 \beta \cos^2 \beta\;d\beta$$ $$=\dfrac{1}{7}\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^2 \alpha\; d\alpha\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^3\beta \cos^2 \beta \;d\beta.$$ Por una parte tenemos $$\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^2\alpha \; d\alpha=\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{2}(1+\cos 2\alpha)\; d\alpha=\dfrac{1}{2}\left[\alpha+\dfrac{1}{2}\sin 2\alpha\right]_0^{2\pi}=\pi,$$ y por otra $$\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^3 \beta \cos^2 \beta \; d\beta=2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3 \beta \cos^2 \beta \; d\beta=B\left(2,3/2\right)$$ $$=\dfrac{\Gamma(2)\Gamma (3/2)}{\Gamma (7/2)}=\dfrac{1!(1/2)\sqrt{\pi}}{(5/2)(3/2)(1/2)\sqrt{\pi}}=\dfrac{4}{15}.$$ Es decir, $$\displaystyle\iiint_{S}x^2z^2\;dV=\dfrac{1}{7}\;\dfrac{4\pi}{15}=\dfrac{1}{3}\;\dfrac{4\pi}{35}.$$ La integral pedida es por tanto $$\displaystyle\iint_{\partial S}F(x,y,z)\;d\sigma=\dfrac{4\pi}{5}\left(A+B+C+\dfrac{D+E+F}{3}\right).$$

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