Cardinales de las sigma-álgebras contables

Demostramos que todas las sigma-álgebras contables tienen un número finito de elememtos que además es potencia de 2.

Enunciado
Sea $\mathcal{A}$ una $\sigma$-álgebra contable en $X,$ es decir $\mbox{card }(\mathcal{A})\leq\aleph_0$. Entonces, $\mathcal{A}$ es finita. Además, existe un $n $ natural tal que $\mbox{card }(\mathcal{A})=2^n .$

Solución
Definimos en $X$ la siguiente relación:

$x\sim y \Leftrightarrow (A\in\mathcal{A}\;\wedge\; y\in A) \Rightarrow x\in\mathcal{A}.$

Es decir $x\sim y$ si y sólo si todo conjunto medible que contiene a $y $ también contiene a $x.$ Veamos que esta relación es de equivalencia en $X $.

(a) Reflexiva. Si un conjunto medible contiene a $x$, trivialmente contiene a $x,$ es decir $x\sim x.$ (b) Simétrica. Sea $x\sim y.$ Si ocurriera $y\not\sim x$, existiría un $B\in\mathcal{A}$ tal que $x\in B,y\in B^c.$ Ahora bien, $B^c\in\mathcal{A},\;y\in B^c $ y $x\not\in B^c$ lo cual contradice la hipótesis $x\sim y.$ (c) Transitiva. Supongamos $x\sim y$ e $y\sim z$ Si $A$ es medible y contiene a $z,$ entonces también contiene a $y$ por ser $y\sim z.$ Por contener a $y,$ y ser $x\sim y$ también contiene a $x.$ Es decir, $x\sim z.$

Veamos ahora que la clase $[x]$ a la que pertenece un elemento $x$ de $X$ es:

$[x]=\bigcap \{A:A\in\mathcal{A}\;\wedge\;x\in A\} .\qquad (1)$

En efecto, si $u\in[x],$ entonces $u\sim x$ con lo cual todo $A $ medible que contiene a $x$ también contiene a $u$ y por tanto $u \in \bigcap \{A:A\in\mathcal{A}\;\wedge\;x\in A\}.$ Recíprocamente, si $u\in \bigcap \{A:A\in\mathcal{A}\;\wedge\;x\in A\},$ todo conjunto medible que contiene a $x$ también contiene a $u$ y por tanto, $u\sim x$ o equivalentemente, $u\in [x]$. Esto demuestra (1). Por otra parte, es claro que para todo $A\in\mathcal{A}$ se verifica:

$A=\bigcup_{\{x\in A\}}[x].\qquad (2)$

Por hipótesis, $\mathcal{A}$ es $\sigma$-álgebra contable lo cual implica por (1) que las clases de equivalencia de $\sim$ pertenecen a $\mathcal{A}.$ Veamos ahora que el número de clases de equivalencia $[x_i]$ es finito.

En efecto, si fuera infinito tendría que ser necesariamente numerable y por formar estas clases una partición, $X=\bigcup_{k\in \mathbb{N}}[x_k]$ (unión disjunta). Cada par de subconjuntos distintos $N_1,N_2$ de $\mathbb{N}$ darían lugar a los conjuntos distintos de $\mathcal{A}:$ $A_1=\bigcup_{i\in N_1} [x_i]$ y $A_2=\bigcup_{j\in N_2} [x_j].$ Esto implicaría que el cardinal de $\mathcal{A}$ sería al menos $2^{\aleph_0}$ lo cual es absurdo por ser $\mathcal{A}$ numerable.

Sea pues $C=\{[a_1],\ldots,[a_n]\}$ el conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Por (2), todo elemento de $\mathcal{A}$ es unión de clases de equivalencia y cada par de subconjuntos distintos $C_1,C_2$ de $C $ dan lugar a los conjuntos distintos de $\mathcal{A}:$ $B_1=\bigcup_{i\in N_1} [a_i]$ y $B_2=\bigcup_{j\in N_2} [a_j].$ Es decir, el número de elementos de $\mathcal{A}$ es

$$\mbox{card }(\mathcal{A})=\mbox{card }(\mathcal{P}(C))=2^{\mbox{card }(C)}=2^n .$$

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