Derivación de funciones hiperbólicas inversas

Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones hiperbólicas inversas.

RESUMEN TEÓRICO

Teorema (Expresión de las funciones hiperbólicas inversas en forma logarítmica). Las funciones inversas del seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica se pueden expresar respectivamente: $$\begin{aligned}&\operatorname {arsh} x = \log \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \quad (x\in\mathbb{R}),\\
&\operatorname {arch} x = \log \left(x + \sqrt{x^{2} – 1} \right)\quad (x \ge 1),\\
&\operatorname {arth} x = \dfrac{1}{2}\log \dfrac{1 + x}{1 – x} \quad (\left| x \right| < 1).\end{aligned}$$
Teorema (Derivación de funciones hiperbólicas inversas). Se verifica: $$\dfrac{d}{dx} \operatorname{arsh}x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},\quad \dfrac{d}{dx} \operatorname{arch}\,x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}},\quad \dfrac{d}{dx} \operatorname{arth}\,x =\dfrac{1}{1-x^{2}}.$$

Enunciado

Calcular $f'(x),$ siendo $f(x)=\operatorname{arth}x-\arctan x.$
Calcular $y’,$ siendo $y=\dfrac{\operatorname{arch}x}{x}.$
Calcular $\dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right).$

Solución

$\quad f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1+x^2-1+x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}=\dfrac{2x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}.$
$\quad y’=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}x-\operatorname{arch}x}{x^2}=\dfrac{x-\sqrt{x^2-1}\operatorname{arch}x}{x^2\sqrt{x^2-1}}.$
$\quad \dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{arsh}x+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\operatorname{arsen}x.$