Determinante con números combinatorios

Calculamos un determinante con números combinatorios.

Enunciado
Calcular el determinante de orden $p+1$

$$\Delta (m,p)=\begin{vmatrix} \binom{m}{0} & \binom{m}{1} & \binom{m}{2} &\ldots & \binom{m}{p}\\ \binom{m+1}{0} &\binom{m+1}{1} & \binom{m+1}{2} &\ldots & \binom{m+1}{p} \\ \vdots&&&&\vdots \\ \binom{m+p}{0} & \binom{m+p}{1} & \binom{m+p}{2} &\ldots & \binom{m+p}{p}\end{vmatrix}\quad (m\geq p).$$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Caminos, UPM).

Solución

Restando a cada fila la anterior y usando la conocidas fórmulas $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},\;\binom{n}{0}=1,\;\binom{n}{1}=n,$$

$$\Delta (m,p)=\begin{vmatrix} \binom{m}{0} & \binom{m}{1} & \binom{m}{2} &\ldots & \binom{m}{p}\\ 0 &\binom{m}{0} & \binom{m}{1} &\ldots & \binom{m}{p-1} \\ 0 &\binom{m+1}{0} & \binom{m+1}{1} &\ldots & \binom{m+1}{p-1}\\ \vdots&&&&\vdots \\ 0 & \binom{m+p-1}{0} & \binom{m+p-1}{1} &\ldots & \binom{m+p-1}{p-1}\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot \begin{vmatrix} \binom{m}{0} & \binom{m}{1} &\ldots & \binom{m}{p-1} \\ \binom{m+1}{0} & \binom{m+1}{1} &\ldots & \binom{m+1}{p-1}\\ \vdots&&&\vdots \\ \binom{m+p-1}{0} & \binom{m+p-1}{1} &\ldots & \binom{m+p-1}{p-1}\end{vmatrix}=\Delta (m,p-1).$$

Por tanto

$$\Delta (m,p)=\Delta (m,p-1)=\Delta (m,p-2)=\ldots=\Delta (m,1)$$ $$=\begin{vmatrix}{\binom{m}{0}}&{\binom{m}{1}}\\{\binom{m+1}{0}}&{\binom{m+1}{1}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{1}&{m}\\{1}&{m+1}\end{vmatrix}=1.$$

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