Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss

Proporcionamos ejercicios sobre el método de Gauss para la diagonalización de formas cuadráticas.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Usando el método de Gauss, diagonalizar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ dada por $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+7x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+8x_2x_3.$$
  2. Usando el método de Gauss, diagonalizar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$ dada por $$q(x,y,z,t)=xy+xz+xt+yz+yt+zt.$$
    Solución
  1. Estamos en el caso 1. Siguiendo el método general expuesto: $$\displaystyle\begin{aligned}q(x_1,x_2,x_3)&=x_1^2+x_1(2x_2+4x_3)-x_2^2+8x_2x_3+7x_3^2\\&=(x_1+x_2+2x_3)^2-\dfrac{(2x_2+4x_3)^2}{4}-x_2^2+8x_2x_3+7x_3^2\\
    &=(x_1+x_2+2x_3)^2-2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2.\end {aligned}$$

    Ahora descomponemos $-2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2$ :

    $\displaystyle\begin{aligned}-2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2&=-2x_2^2+x_2(4x_3)+3x_3^2\\&= -2(x_2-x_3)^2-\dfrac{(4x_3)^2}{-8}+3x_3^2\\&=-2(x_2-x_3)^2+5x_3^2.\end {aligned}$

    La expresión de $q$ en suma de cuadrados de formas lineales independientes es:

    $q(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+2x_3)^2-2(x_2-x_3)^2+5x_3^2.$

    Denotando $x’_1=x_1+x_2+2x_3\;,\;x’_2=x_2-x_3\;,\;x’_3=x_3$ también podemos expresar $q$ en la forma: $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1′^2-2x_2′^2+5x_3′^2=\begin{pmatrix}{x’_1}&{x’_2}&{x’_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{\;\;0}&{0}\\{0}&{-2}&{0}\\{0}&{\;\;0}&{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x’_1}\\{x’_2}\\{x’_3}\end{pmatrix}.$$

  2. Estamos en el caso 2. Siguiendo el método general expuesto: $$\displaystyle\begin{aligned}q(x,y,z,t)&=xy+x(z+t)+y(2z+t)+4zt\\&= (x+2z+t)(y+z+t)+4zt-(z+t)(2z+t)\\&=(x+2z+t)(y+z+t)-2z^2-t^2+zt\end {aligned}$$

    Usando la fórmula $AB=(1/4)[(A+B)^2-(A-B)^2]$ obtenemos

    $(x+2z+t)(y+z+t)=\dfrac{1}{4}(x+y+3z+2t)^2-\dfrac{1}{4}(x-y+z)^2$

    Ahora descomponemos $-2z^2-t^2+zt$ :

    $\displaystyle\begin{aligned}-2z^2-t^2+zt&=-t^2+t(z)-2z^2\\&=-\left(t-\dfrac{z}{2}\right)^2-\dfrac{z^2}{4}-2z^2=\\&=-\left(t-\dfrac{z}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}z^2\end {aligned}$

    La expresión de $q$ en suma de cuadrados de formas lineales independientes es:

    $q(x,y,z,t)=\dfrac{1}{4}(x+y+3z+2t)^2-\dfrac{1}{4}(x-y+z)^2-\left(t-\dfrac{z}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}z^2$

    Denotando $x’=x+y+3z+2t\;,\;y’=x-y+z\;,\;z’=t-z/2\;,\;t’=z$ también podemos expresar $q$ en la forma :

    $q(x,y,z,t)=\dfrac{1}{4}x’^{\;2}-\dfrac{1}{4}y’^{\;2}-z’^{\;2}-\dfrac{9}{4}t’^{\;2}=\\\begin{pmatrix}{x’}&{y’}&{z’}&{t’}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1/4}&{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;0}\\{0}&{-1/4}&{\;\;0}&{\;\;0}\\{0}&{\;\;0}&{-1}&{\;\;0}\\{0}&{\;\;0}&{\;\;0}&{-9/4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x’}\\{y’}\\{z’}\\{t’}\end{pmatrix}.$

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