Sucesiones de números reales: problemas diversos (2)

11 Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{9}{6}\cdot \dfrac{11}{9}\cdot\ldots\cdot\dfrac{2n+5}{3n}}.$

SOLUCIÓN

12 Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{n}=1.$

SOLUCIÓN

13 Sabiendo que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{n}=1,$ calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1+3n}.$

SOLUCIÓN

14 Sea $\{x_n\}$ una sucesión tal que $x_n\geq -1$ para todo $n,$ y $\{x_n\}\to 0.$ Demostrar que para todo $p$ entero positivo se verifica $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[p]{1+x_n}=1.$

SOLUCIÓN

15 Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right).$

SOLUCIÓN

16 Sea $a>1.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{a^n}=0.$

SOLUCIÓN

17 Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{\log n!}{\log n^n}.$

SOLUCIÓN
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