Producto de Cauchy de series, contraejemplo

Demostramos que el producto de Cauchy de dos series convergentes no es en general convergente.

Enunciado
Sabido es que para dos series de números reales $\sum_{n\geq 0}u_n$ y $\sum_{n\geq 0}v_n$ absolutamente convergentes, de sumas $U$ y $V$ respectivamente, las serie producto de Cauchy $$\displaystyle\sum_{n\geq 0} w_n,\mbox{ en donde } w_n=\displaystyle\sum_{i+j=n}u_iv_j$$ es absolutamente convergente de suma $UV.$ Demostrar que no es cierto en general que si la convergencia de las series no es absoluta, su producto de Cauchy no tiene por qué ser convergente. Para ello, efectuar el producto de Cauchy de la siguiente serie por ella misma: $$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.$$

Solución
Usando el criterio de Leibniz para series alternadas fácilmente comprobamos que la serie dada es convergente. Por otra parte, $\sqrt{n+1}/n^{1/2}\to 1$ cuando $n\to \infty$ lo cual implica por el criterio de comparación por cociente que la serie no es absolutamente convergente. Hallemos el producto de Cauchy de la serie por ella misma. Tenemos:

$w_n=\displaystyle\sum_{i+j=n}\frac{(-1)^i(-1)^j}{\sqrt{i+1}\sqrt{j+1}}=(-1)^n\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(i+1)(n-i+1)}}.$

Para todo par de números reales $A,B$ se verifica $AB=(1/4)[(A+B)^2-(A-B)^2]$ por tanto

$(i+1)(n-i+1)=\frac{1}{4}((n+2)^2-(n-2i)^2)\leq \frac{1}{4}(n+2)^2.$

Esto implica

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(i+1)(n-i+1)}}\geq (n+1)\frac{2}{n+2}\to 2\quad (\mbox{ si }n\to \infty).$

Es decir, $\lim_{n \to \infty}{w_n}\neq 0$ y la serie producto de Cauchy no es convergente.

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