Una aproximación racional de la raíz de 5

Usando la fórmula de Taylor, calculamos una aproximación de $\sqrt{5}$.

Enunciado
Sea $f(x)=\sqrt{x}$ y $x_0>0.$
1. Determinar razonadamente el polinomio de Taylor de orden $n,$ en el punto $x_0$ de la función $f,$ $P_{n,f,x_0}(x)$ y su resto $R_{n,f,x_0}(x).$
2. Mediante una adecuada elección de $x_0,$ calcular una aproximación racional de $\sqrt{5}$ con un error menor que $10^{-3}.$

    (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Hallemos las primeras derivadas de $f$ en $(0,+\infty):$ $$f(x)=x^{1/2},\;f'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2},\;f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1}{2}x^{-3/2},$$ $$f^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1}{2}\cdot \dfrac{-3}{2}x^{-5/2},\;f^{(4)}(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1}{2}\cdot \dfrac{-3}{2}\cdot \dfrac{-5}{2}x^{-7/2}.$$ El cálculo de estas primeras derivadas sugiere la fórmula general: $$f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-3)\;x^{\frac{1-2n}{2}}\; (n\geq 2).\qquad (*)$$ Demostremos ésta fórmula por inducción. Efectivamente, $(*)$ es cierta para $n=2.$ Sea cierta para un $n\geq 2,$ veamos que también es cierta para $n+1.$ Tenemos: $$f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)’=\left(\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-3)\;x^{\frac{1-2n}{2}}\right)’$$ $$
   =\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-3)\cdot \dfrac{1-2n}{2}\;x^{\frac{-1-2n}{2}}.$$ Usando que $-1-2n=1-2(n+1)$ y que $1-2n=(-1)(2(n+1)-3):$ $$f^{(n+1)}(x)=\dfrac{(-1)^{(n+1)-1}}{2^{n+1}}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-3)\cdot (2(n+1)-3)\;x^{\frac{-1-2(n+1)}{2}}$$ y por tanto, la fórmula $(*)$ es cierta para $n+1.$ El polinomio de Taylor pedido es $$P_{n,f,x_0}(x)=x_0^{\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}x_0^{-\frac{1}{2}}(x-x_0)+\dfrac{1}{2!}\dfrac{-1}{2^2}x_0^{-\frac{3}{2}}(x-x_0)^2+$$ $$+\ldots +\dfrac{1}{n!}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-3)\;x_0^{\frac{1-2n}{2}}(x-x_0)^n,$$ y el correspondiente resto: $$R_{n,f,x_0}(x)=\dfrac{(-1)^n\cdot 1\cdot
   3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)}{(n+1)!\;2^{n+1}}\;\xi^{\frac{-1-2n}{2}}(x-x_0)^{n+1},$$ en donde $\xi$ está comprendido entre $x_0$ y $x.$
2. Elijamos $x_0=4,\;x=5$ y acotemos el valor absoluto del resto. Teniendo en cuenta que $4<\xi <5:$ $$|R_{n,f,4}(x)|=\left |\dfrac{(-1)^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)}{(n+1)!\;2^{n+1}}\cdot \dfrac{1}{(\sqrt{\xi})^{2n+1}} \right |\leq$$ $$
   \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)}{(n+1)!\;2^{n+1}}\cdot \dfrac{1}{2^{2n+1}}=\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1)}{(n+1)!\;2^{3n+2}}.$$ Obliguemos a que este valor absoluto sea menor que $10^{-3}=1/1000:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
   &\mbox{Si }n=1,\;\dfrac{1}{2!\;2^5}=\dfrac{1}{64}\not <\dfrac{1}{1000}.\\
   &\mbox{Si }n=2,\;\dfrac{1\cdot 3}{3!\;2^8}=\dfrac{1}{512}\not <\dfrac{1}{1000}.\\
   &\mbox{Si }n=3,\;\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{4!\;2^{11}}=\dfrac{5}{16384}<\dfrac{5}{5000}=\dfrac{1}{1000}.
   \end{aligned}$$ Para $n=3,$ el resto en valor absoluto es por tanto menor que $10^{-3}.$ Entonces, $$P_{3,f,4}(5)=4^{\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}4^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2!}\;\dfrac{-1}{2^2}4^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{1}{3!}\;\dfrac{(-1)^2\cdot 1\cdot 3}{2^3}4^{-\frac{5}{2}}$$ $$=
   2+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{2^3}+ \dfrac{1}{2^4}\cdot \dfrac{1}{2^5}=\ldots=\dfrac{1145}{512}.$$ Es decir, una aproximación racional de $\sqrt{5}$ con error menor que $10^{-3}$ es $1145/512.$