Determinante de Vandermonde

Proporcionamos ejercicios sobre el determinante de Vandermonde.

TEORÍA

1  Resolver la ecuación $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & x & 3 & -1 \\
4 & x^2 & 9 & 1 \\
8 & x^3 & 27 & -1
\end{vmatrix}=0.$

SOLUCIÓN

2  Calcular $\Delta=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\log 2 & \log 20 & \log 200 & \log 2000 \\
\log^2 2 & \log^2 20 & \log^2 200 & \log^2 2000 \\
\log^3 2 & \log^3 20 & \log^3 200 & \log^3 2000
\end{vmatrix},$ siendo $\log$ el logaritmo decimal.

SOLUCIÓN

3  Demostrar la fórmula del determinante de Vandermonde $$V(x_1,\ldots,x_n)=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n\\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \ldots & x_n^2\\
\vdots&&&&\vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1}\\
\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i).$$

SOLUCIÓN

4  $(a)$ Demostrar que el siguiente sistema lineal es determinado $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x+2y+4z+8w=16\\
& x-2y+4z-8w=16\\
& x+3y+9z+27w=81\\
& x-4y+16z-64w=256 .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $(b)$ Resolverlo usando de forma adecuada el polinomio $$p(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-3)(\lambda+4).$$

SOLUCIÓN

5 Determinar las relaciones que han de verificar $\cos \alpha,$ $\cos\beta$ y $\cos \gamma$ para que sea nulo el determinante $$\Delta=\begin{vmatrix}
\cos 2\alpha & \cos \alpha & 1\\
\cos 2\beta& \cos \beta & 1\\
\cos 2\gamma & \cos \gamma & 1
\end{vmatrix}.$$

SOLUCIÓN

6 Expresar el siguiente determinante en forma de determinante de Vandermonde $$\Delta=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
a & b & c & d\\
bcd & cda & dab & abc\\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2
\end{vmatrix}\quad (abcd\neq 0).$$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.