Determinante de Vandermonde

Proporcionamos ejercicios sobre el determinante de Vandermonde.

Enunciado
1. Resolver la ecuación $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\
   2 & x & 3 & -1 \\
   4 & x^2 & 9 & 1 \\
   8 & x^3 & 27 & -1
   \end{vmatrix}=0.$
2. Calcular $\Delta=\begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1 \\
   \log 2 & \log 20 & \log 200 & \log 2000 \\
   \log^2 2 & \log^2 20 & \log^2 200 & \log^2 2000 \\
   \log^3 2 & \log^3 20 & \log^3 200 & \log^3 2000
   \end{vmatrix},$ siendo $\log$ el logaritmo decimal.
3. Demostrar la fórmula del determinante de Vandermonde $$V(x_1,\ldots,x_n)=
   \begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
   x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n\\
   x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \ldots & x_n^2\\
   \vdots&&&&\vdots \\
   x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1}\\
   \end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i).$$
4. $(a)$ Demostrar que el siguiente sistema lineal es determinado $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x+2y+4z+8w=16\\
   & x-2y+4z-8w=16\\
   & x+3y+9z+27w=81\\
   & x-4y+16z-64w=256 .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $(b)$ Resolverlo usando de forma adecuada el polinomio $$p(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-3)(\lambda+4).$$
5. Determinar las relaciones que han de verificar $\cos \alpha,$ $\cos\beta$ y $\cos \gamma$ para que sea nulo el determinante $$\Delta=\begin{vmatrix}
   \cos 2\alpha & \cos \alpha & 1\\
   \cos 2\beta& \cos \beta & 1\\
   \cos 2\gamma & \cos \gamma & 1
   \end{vmatrix}.$$
6. Expresar el siguiente determinante en forma de determinante de Vandermonde $$\Delta=\begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1\\
   a & b & c & d\\
   bcd & cda & dab & abc\\
   a^2 & b^2 & c^2 & d^2
   \end{vmatrix}\quad (abcd\neq 0).$$

Solución
1. El determinante $\Delta$ dado es de Vandermonde, por tanto, $$\Delta=0\Leftrightarrow (-4)(-1-x)(-3)(3-x)1(x-2)=0\Leftrightarrow x=-1\vee x=3\vee x=2.$$
2. El determinante es de Vandermonde, por tanto, $$\Delta=(\log 2000-\log 200)\;(\log 2000-\log 20)\;(\log 2000-\log 2)$$ $$\cdot\; (\log 200-\log 20)\;(\log 200-\log 2)\;(\log 20-\log 2)$$ $$=(\log 10)\;(\log 100)\;(\log 1000)\;(\log 10)\;(\log 100)\;(\log 10)$$ $$=1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12.$$
3. Demostremos la fórmula por inducción. Tenemos $$V(x_1,x_2)=\begin{vmatrix} 1 & 1\\
   x_1 & x_2\end{vmatrix}=x_2-x_1= \prod_{1\leq i<j\leq 2}(x_j-x_i),$$ por tanto la fórmula es cierta para $n=2.$ Sea cierta la fórmula para todo $k\leq n-1,$ entonces, restando a cada fila la anterior multiplicada por $x_1:$ $$V(x_1,\ldots,x_n)=
   \begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & \ldots & 1\\
   0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & \ldots & x_n-x_1\\
   0 & x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \ldots & x_n(x_n-x_1)\\
   \vdots&&&&\vdots \\
   0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \ldots & x_n^{n-2}(x_n-x_1)\\
   \end{vmatrix}$$ $$=\begin{vmatrix}
   x_2-x_1 & x_3-x_1 & \ldots & x_n-x_1\\
   x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \ldots & x_n(x_n-x_1)\\
   \vdots&&&\vdots \\
   x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \ldots & x_n^{n-2}(x_n-x_1)\\
   \end{vmatrix}$$ $$=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\ldots(x_n-x_1)\begin{vmatrix}
   1 & 1 & \ldots & 1\\
   x_2 & x_3 & \ldots & x_n\\
   \vdots&&&\vdots \\
   x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \ldots & x_n^{n-2}\\
   \end{vmatrix}=$$ $$\prod_{2\leq r\leq n}(x_r-x_1)\cdot V(x_2,\ldots,x_n)=\prod_{2\leq r\leq n}(x_r-x_1)\prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i),$$ lo cual implica que la fórmula es cierta para $n.$
4. $(a)$ El determinante de la matriz $A$ del sistema es $$\det A=\begin{vmatrix}{1}&{\;\;2}&{4} &\;\; 8\\{1}&{-2}&{4}& -8\\{1}&{\;\;3}&{9}& \;\;27\\ 1 &-4&16&-64\end{vmatrix}=\det A^T=\begin{vmatrix}{1}&{\;\;1}&{1} &\;\; 1\\{2}&{-2}&{3}& -4\\{4}&{\;\;4}&{9}& \;16\\ 8 &-8&27&-64\end{vmatrix}.$$ El determinante anterior es de Vandermonde con los elementos de la segunda fila distintos dos a dos, luego $\det A\neq 0.$ Entonces, el rango de $A$ es $4,$ que coincide con el de la matriz ampliadda y con el número de incógnitas. El sistema $S$ es determinado.
   $(b)$ El polinomio $p$ se anula para los valores $2,$ $-2,$ $3$ y $-4.$ Si denotamos $$p(\lambda)=\lambda^4-w\lambda^3-z\lambda^2-y\lambda -x,\qquad (1)$$ las cuatro ecuaciones del sistema $S$ equivalen a $$p(2)=0,\;p(-2)=0,\;p(3)=0,\;p(-4)=0,$$ y desarrollando $(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-3)(\lambda+4)$ obtenemos $$p(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3-16\lambda^2-4\lambda+48.\qquad (2)$$ Identificando $(1)$ y $(2),$ obtenemos la única solución del sistema $$x=48,\;y=4,\;z=16,\;w=-1.$$
5. Usando que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta e intercambiando la primera fila con la tercera: $$\Delta=\begin{vmatrix}
   \cos 2\alpha & \cos 2\beta & \cos 2\gamma \\
   \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
   1 & 1 & 1
   \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1\\
   \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
   \cos 2\alpha & \cos 2\beta & \cos 2\gamma \\
   \end{vmatrix}$$ $$=-\begin{vmatrix}
   \cos ^2\alpha+\operatorname{sen}^2\alpha & \cos ^2\beta+\operatorname{sen}^2\beta & \cos ^2\gamma+\operatorname{sen}^2\gamma\\
   \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
   \cos ^2\alpha-\operatorname{sen}^2\alpha & \cos ^2\beta-\operatorname{sen}^2\beta & \cos ^2\gamma-\operatorname{sen}^2\gamma
   \end{vmatrix}.$$ Sumando a la tercera fila la primera: $$\Delta=-\begin{vmatrix}
   \cos ^2\alpha+\operatorname{sen}^2\alpha & \cos ^2\beta+\operatorname{sen}^2\beta & \cos ^2\gamma+\operatorname{sen}^2\gamma\\
   \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
   2\cos ^2\alpha & 2\cos ^2\beta & 2\cos ^2\gamma
   \end{vmatrix}$$ $$-2\begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1\\
   \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
   \cos ^2\alpha & \cos ^2\beta & \cos ^2\gamma
   \end{vmatrix}.$$ El último determinante es de Vandermonde, en consecuencia $\Delta=0$ si, y sólo si los tres cosenos $\cos \alpha,$ $\cos\beta$ y $\cos \gamma,$ no son distintos dos a dos.
6. Efectuando las transformaciones $aC_1,$ $bC_2,$ $cC_3$ y $dC_4:$ $$\Delta=\frac{1}{abcd}\begin{vmatrix}
   a & b & c & d\\
   a^2 & b^2 & c^2 & d^2\\
   abcd & bcda & cdab & dabc\\
   a^3 & b^3 & c^3 & d^3
   \end{vmatrix}$$ $$=\frac{abcd}{abcd}\begin{vmatrix}
   a & b & c & d\\
   a^2 & b^2 & c^2 & d^2\\
   1 & 1 & 1 & 1\\
   a^3 & b^3 & c^3 & d^3
   \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
   a & b & c & d\\
   a^2 & b^2 & c^2 & d^2\\
   1 & 1 & 1 & 1\\
   a^3 & b^3 & c^3 & d^3
   \end{vmatrix}$$ $$=-\begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1\\
   a^2 & b^2 & c^2 & d^2\\
   a & b & c & d\\
   a^3 & b^3 & c^3 & d^3
   \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1\\
   a & b & c & d\\
   a^2 & b^2 & c^2 & d^2\\
   a^3 & b^3 & c^3 & d^3
   \end{vmatrix}.$$