Sucesión recurrente con límite raíz de $a$

Enunciado
Se considera la sucesión $u_n$ tal que:  $$u_0>0,\quad u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_{n}}\right)\quad a>0.$$ Demostrar que $u_n$ es convergente y hallar su límite.

Solución
La sucesión $u_n$ es de términos positivos. En efecto, $u_0>0$ por hipótesis y si $u_n>0,$ entonces: $$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_{n}}\right)>0,\text{ al ser }a>0.$$ Supongamos que la sucesión $u_n$ tiene límite $U\in\mathbb{R}.$ Tomando límites en la relación de recurrencia dada: $$U=\frac{1}{2}\left(U+\frac{a}{U}\right)\quad\text{ó}\quad2U^2=U^2+a\quad\text{ó}\quad U^2=a.$$ Como la sucesión es de términos positivos, si es convergente, su límites es $\sqrt{a}.$ Demostremos que $\left(u_n\right)_{n\geq 1}$ está acotada inferiormente por $\sqrt{a}.$ En efecto, $$u_n-\sqrt{a}=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{a}{u_{n-1}}\right)-\sqrt{a}=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{a}{u_{n-1}}-2\sqrt{a}\right)$$ $$=\frac{1}{2}\frac{u^2_{n-1}+a-2\sqrt{a}\;u_{n-1}}{u_{n-1}}=\frac{\left(u_{n-1}-\sqrt{a}\right)^2}{2u_{n-1}}\geq 0\quad \forall n\geq1,$$ por tanto $u_n \geq \sqrt{a}$ para todo $n\geq 1.$ Demostremos ahora que la sucesión es monótona decreciente. En efecto para todo $n$ tenemos: $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_{n}}\right)-u_n$$ $$=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_{n}}-2u_n\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{u_{n}}-u_n\right)=\frac{a-u_n^2}{2u_n}.$$ Ahora bien, al ser $u_n\geq \sqrt{a},$ se verifica $u_n^2\geq a,$ y por tanto $u_{n+1}-u_n\leq 0,$ o equivalentemente $u_{n+1}\leq u_n.$ Por un conocido teorema, la sucesión es convergente, y según lo ya visto su límite es $\sqrt{a}.$

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