Anillo de las funciones reales

Contruimos el anillo de las funciones reales.

Enunciado
Sea $X$ un conjunto distinto del vacío y sea $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ el conjunto de todas las funciones de $X$ en $\mathbb{R}.$ Se definen en $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ las operaciones
Suma.  Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\quad(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in X.$
Producto.  Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\quad(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\quad \forall x\in X.$

Demostrar que $(\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),+,\cdot)$ es anillo conmutativo y unitario. A este anillo se le llama anillo de las funciones reales.

Solución
$1)$ $(\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),+)$ es grupo abeliano.

Interna. Claramente, la suma de dos funciones de $X$ en $\mathbb{R}$ es función de $X$ en $\mathbb{R}.$

Asociativa. Para todo $f,g,h\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ para todo $x\in X$ y usando la propiedad asociativa de la suma de números reales: $$\begin{aligned}&[(f+g)+h](x)=[(f+g)(x)]+h(x)=[f(x)+g(x)]+h(x).\\
&=f(x)+[g(x)+h(x)]=f(x)+[(g+h)(x)]=[f+(g+h)](x).
\end{aligned}$$ Por la definición de igualdad de funciones, $(f+g)+h=f+(g+h).$

Elemento neutro. Consideremos la función $0:X\to \mathbb{R}$ definida por $0(x)=0$ para todo $x\in X.$ Entonces, para cualquier $f\in\mathcal{F}(X,\mathbb{R}):$
$$\begin{aligned}& (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+0=f(x)\Rightarrow f+0=f,\\
&(0+f)(x)=0(x)+f(x)=0+f(x)=f(x)\Rightarrow 0+f=f,
\end{aligned}$$ por tanto la función $0$ es elemento neutro.

Elemento simétrico. Para cada $f\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}), $ definamos la función $-f$ de la siguiente manera: $(-f)(x)=-f(x),\; x\in X.$ Entonces, para todo $x\in X:$  $$\begin{aligned}& [f+(-f)](x)=f(x)+(-f)(x)=f(x)+(-f(x))=0\Rightarrow f+(-f)=0,\\
&[(-f)+f](x)=(-f)(x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0\Rightarrow (-f)+f=0,
\end{aligned}$$  es decir todo elemento de $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ tiene simétrico.

Conmutativa. Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ para todo $x\in X$ y usando la propiedad conmutativa de la suma de números reales: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)\Rightarrow f+g=g+f.$$ $2)$ $(\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\cdot)$ es semigrupo. Escribiremos abreviadamente $fg$ en lugar de $f\cdot g.$

Interna. Claramente, el producto dos funciones de $X$ en $\mathbb{R}$ es función de $X$ en $\mathbb{R}.$

Asociativa. Para todo $f,g,h\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ para todo $x\in X$ y usando la propiedad asociativa del producto de números reales: $$\begin{aligned}&[(fg)h](x)=[(fg)(x)]h(x)=[f(x)g(x)]h(x)\\
&=f(x)[g(x)h(x)]=f(x)[(gh)(x)]=[f(gh)](x),
\end{aligned}$$  y por la definición de igualdad de funciones, $(fg)h=f(gh).$

El semigrupo es además conmutativo pues por la propiedad conmutativa del producto de números reales: $$(fg)(x)=f(x)g(x)=g(x)f(x)=(gf)(x)\Rightarrow fg=gf.$$ $3)$ Veamos que la operación $\cdot$ es distributiva respecto de la operación $+.$ Dado que $\cdot$ es conmutativa, bastará demostrar que para todo $f,g,h\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ se verifica $f(g+h)=fg+fh.$ En efecto, usando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en $\mathbb{R},$ para todo $x\in X:$ $$\begin{aligned}&[f(g+h)](x)=f(x)[(g+h)(x)]=f(x)[g(x)+h(x)]=\\
&f(x)g(x)+f(x)h(x)=(fg)(x)+(fg)(x)=[fg+fh](x),\\
\end{aligned}$$ y por la definición de igualdad de funciones, $f(g+h)=fg+fh.$

Hemos demostrado que $(\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),+,\cdot)$ es anillo conmutativo. Es además unitario, pues definiendo $1:X\to \mathbb{R},$ mediante $1(x)=x,\;\forall x\in X:$ $$\begin{aligned}& (f1)(x)=f(x)1(x)=f(x)1=f(x)\Rightarrow f1=f,\\
&(1f)(x)=1(x)f(x)=1f(x)=f(x)\Rightarrow 1f=f,
\end{aligned}$$ es decir, la función $1$ es elemento neutro del $\cdot$ en  $\mathcal{F}(X,\mathbb{R}).$

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