Derivadas de órdenes superiores

Proporcionamos ejercicios sobre derivadas de órdenes superiores.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar las derivadas hasta orden 3 de la función $y=\sqrt{x}.$
  2. Demostrar que la función $f(x)=e^{-x}\cos x$ satisface la relación $f^{(4)}(x)+4f(x)=0.$
  3. Calcular la derivada enésima de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-1}.$
  4. Hallar la derivada enésima de la función $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}.$
  5. Demostrar por inducción que si $f(x)=\text{sen }x$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right).$$
  6. Se considera la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} e^{-1/x^2}& \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{ si }& x=0.\end{matrix}\right.$$ Demostrar que es indefinidamente derivable en $\mathbb{R}.$ Determinar $f^{(n)}(0).$
  7. Hallar la derivada enésima de la función $f(x)=e^x+e^{-x}.$
  8. Hallar la derivada enésima de la función $f(x)=\sqrt{x}.$
  9. Hallar la derivada enésima de la función $f:\mathbb{R}-\{-1,0\}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\dfrac{1}{x^3+x^2}.$
    Solución
  1. Como $y=x^{1/2},$ tenemos: $y’=\dfrac{1}{2}x^{-1/2},\;y^{\prime\prime}=-\dfrac{1}{4}x^{-3/2},\;y^{\prime\prime\prime}=\dfrac{3}{8}x^{-5/2}.$ O bien, $y’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},\;y^{\prime\prime}=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}},\;y^{\prime\prime\prime}=\dfrac{3}{8x^2\sqrt{x}}.$
  2. Las derivadas hasta orden $4$ son:
    $f’(x)=-e^{-x}\cos x+e^{-x}(-\operatorname{sen}x)=-e^{-x}(\cos x+\operatorname{sen}x).\\
    f^{\prime\prime}(x)=e^{-x}(\cos x+\operatorname{sen}x)-e^{-x}(-\operatorname{sen}x+\cos x)=2e^{-x}\operatorname{sen}x.\\
    f^{(3)}(x)=-2e^{-x}\operatorname{sen}x+2e^{-x}\cos x=2e^{-x}(\cos x-\operatorname{sen}x).\\
    f^{(4)}(x)=-2e^{-x}(\cos x-\operatorname{sen}x)+2e^{-x}(-\operatorname{sen}x-\cos x)=2e^{-x}(-2\cos x)\\=-4e^{-x}\cos x.$
    Por tanto, $f^{(4)}(x)+4f(x)=-4e^{-x}\cos x+4e^{-x}\cos x=0.$
  3. Hallemos las primeras derivadas de $f:$
    $f(x)=(x-1)^{-1},\;f’(x)=-(x-1)^{-2},\;f^{\prime\prime}(x)=2(x-1)^{-3},\\f^{(3)}(x)=-6(x-1)^{-4},\;f^{(4)}(x)=24(x-1)^{-5}.$
    El cálculo de las anteriores derivadas permite conjeturar la fórmula: $$f^{(n)}(x)=(-1)^nn!(x-1)^{-n-1}.\qquad (1)$$
    Demostremos $(1)$ por inducción. El paso base ya está verificado, veamos el paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta para $n.$ Entonces,
    $f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)’=\left((-1)^nn!(x-1)^{-n-1}\right)’\\=(-1)^nn!(-n-1)(x-1)^{-n-2}
    =(-1)^{n+1}n!(n+1)(x-1)^{-(n+1)-1}\\=(-1)^{n+1}(n+1)!(x-1)^{-(n+1)-1}.$
    Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$
  4. Descompongamos previamente $f(x)$ en suma de fracciones racionales simples. Las raíces del denominador son $1$ y $-2,$ por tanto: $$\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}=\dfrac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}.$$ La igualdad anterior implica $2x+1=A(x+2)+B(x-1).$ Para $x=1$ queda $3=3A,$ es decir $A=1.$ Para $x=-2$ queda $-3=3B,$ es decir $B=1.$ La función dada se puede pues expresar en la forma $$f(x)=g(x)+h(x) \text{ con } g(x)=\dfrac{1}{x-1},\;g(x)=\dfrac{1}{x+2}.$$ Entonces, $f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)+h^{(n)}(x).$ La derivada $g^{(n)}(x)$ ya la hallamos en el ejercicio anterior, y la derivada $h^{(n)}(x)$ se calcula de manera totalmente análoga. Quedaría: $$f^{(n)}(x)=(-1)^nn!(x-1)^{-n-1}+(-1)^nn!(x+2)^{-n-1},$$ que podemos expresar en la forma: $$f^{(n)}(x)=(-1)^nn!\left(\dfrac{1}{(x-1)^{n+1}}+\dfrac{1}{(x+2)^{n+1}}\right).$$
  5. Ver Derivada enésima de la función seno.
  6. Primer caso: $x\neq 0.$ Existe un intervalo abierto que contiene a $x$ en el cual la función es elemental. Aplicando conocidas reglas de derivación: $$\begin{aligned}&f(x)=e^{-1/x^2}=e^{-x^{-2}}\\
    &f’(x)=2x^{-3}e^{-x^{-2}}=2x^{-3}f(x).\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-6x^{-4}e^{-x^{-2}}+2x^{-3}(2x^{-3})e^{-x^{-2}}=x^{-6}(-6x^2+4)f(x).\end{aligned}$$ Observemos que las derivadas anteriores cumplen la relación: $$f^{(n)}(x)=p_n(x)x^{-3n}f(x),\;\;\left(p_n(x)\text{ polinomio de grado }2n-2\right).$$
    Demostremos por inducción que la fórmula anterior es cierta para todo $n.$ El paso base ya está verificado para $n=1$ y $n=2.$ Sea cierta para $n.$ Entonces, $$f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)’=\left(p_n(x)x^{-3n}f(x)\right)’$$ $$=p’_n(x)x^{-3n}f(x)+p_n(x)(-3nx^{-3n-1})f(x)+p_n(x)x^{-3n}(2x^{-3}f(x))$$ $$=\left[x^{-3n}p'_n(x)-3nx^{-3n-1}p_n(x)+2x^{-3n-3}p_n(x)\right]f(x)$$ $$=\left[x^3p'_n(x)-3nx^{2}p_n(x)+2p_n(x)\right]x^{-3(n+1)}f(x).$$ Ahora bien, $p_{n+1}(x)=x^3p’_n(x)-3nx^{2}p_n(x)+2p_n(x)$ es un polinomio cuyos términos son todos de grado $\leq 2n=2(n+1)-2.$
    Segundo caso: $x=0.$ La derivada primera es: $$f’(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-1/h^2}}{h}=0.$$ Supongamos que se verifica $f^{(n)}(0)=0.$ Entonces, $$f^{(n+1)}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(h)-f^{(n)}(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{p_n(h)e^{-1/h^2}}{h^{3n+1}}=0.$$ Es decir, $f^{(n)}(0)=0$ para todo $n.$
  7. Hallemos las primeras derivadas: $$f’(x)=e^x-e^{-x},\;f^{\prime\prime}(x)=e^x+e^{-x},\; f^{\prime\prime\prime}(x)=e^x-e^{-x}.$$ El cálculo de estas derivadas permite conjeturar la fórmula: $$f^{(n)}(x)=e^x+(-1)^ne^{-x}.\qquad (1)$$ Demostremos $(1)$ por inducción. El paso base ya está verificado, veamos el paso de inducción. Supongamos que la fórmula $(1)$ es cierta para $n$, entonces:$$\begin{aligned}&f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)’=\left(e^x+(-1)^ne^{-x}\right)’\\
    &=e^x-(-1)^ne^{-x}=e^x+(-1)^{n+1}e^{x}.\end{aligned}$$ Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$
  8. Escribamos $f(x)=x^{1/2}.$ Hallemos las primeras derivadas: $$f’(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2},\;f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{4}x^{-3/2},$$ $$f^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{3}{8}x^{-5/2},\;f^{(4)}(x)=-\dfrac{15}{16}x^{-7/2}.$$ Podemos expresar las anteriores derivadas en la forma: $$f’(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2},\;f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{2^2}x^{-3/2},$$ $$f^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{3}{2^3}x^{-5/2},\;f^{(4)}(x)=-\dfrac{3\cdot 5}{2^4}x^{-7/2},$$ lo cual permite conjeturar la fórmula: $$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-3)}{2^n}x^{-(2n-1)/2}\;(n>1).\quad (1)$$ Demostremos $(1)$ por inducción. El paso base ya está verificado, veamos el paso de inducción. Supongamos que la fórmula $(1)$ es cierta para $n$, entonces:
    $f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)’$
    $=(-1)^{n+1}\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-3)}{2^n}\dfrac{-(2n-1)}{2}x^{-(2n-1)/2-1}$
    $=(-1)^{n+1}\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-3)\left(2n-1\right)}{2^{n+1}}x^{-(2n+1)/2}$
    $=(-1)^{n+1}\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-3)\left(2(n+1)-3\right)}{2^{n+1}}x^{-(2(n+1)-1)/2}.$
    Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$
  9. El denominador es $x^2(x+1)$ y la función está por tanto definida en $\mathbb{R}-\{-1,0\}.$ Descomponiendo en fracciones simples: $$\dfrac{1}{x^3+x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x+1}=\dfrac{Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2}{x^2(x+1)}.$$ Se verifica $1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2$ e identificando coeficientes, $1=B, 0=A+B,$ y $0=A+C.$ Resolviendo el sistema obtenemos $A=-1,$ $B=C=1.$ La función dada se puede pues expresar en la forma $$f(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x) \text{ con } f_1(x)=-\dfrac{1}{x},\;f_2(x)=\dfrac{1}{x^2},\;f_3(x)=\dfrac{1}{x+1}.$$ Entonces, $f^{(n)}(x)=f_1^{(n)}(x)+f_2^{(n)}(x)+f_3^{(n)}(x).$
    Siguiendo el procedimiento estándar usado en otros problemas para la derivada enésima de funciones de la forma $1/(x+a)$ deducimos fácilmente que: $$f^{(n)}(x)=(-1)^nn!\left(-\dfrac{1}{x^{n+1}}+\dfrac{n+1}{x^{n+2}}+\dfrac{1}{(x+1)^{n+1}}\right).$$
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