Derivadas de órdenes superiores

Proporcionamos ejercicios sobre derivadas de órdenes superiores.

TEORÍA

1 Hallar las derivadas hasta orden 3 de la función $y=\sqrt{x}.$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que la función $f(x)=e^{-x}\cos x$ satisface la relación $f^{(4)}(x)+4f(x)=0.$

SOLUCIÓN

3 Calcular la derivada enésima de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-1}.$

SOLUCIÓN

4 Hallar la derivada enésima de la función $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}.$

SOLUCIÓN

5 Demostrar por inducción que si $f(x)=\text{sen }x$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right).$$

SOLUCIÓN

6 Se considera la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} e^{-1/x^2}& \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{ si }& x=0.\end{matrix}\right.$$ Demostrar que es indefinidamente derivable en $\mathbb{R}.$ Determinar $f^{(n)}(0).$

SOLUCIÓN

7  Hallar la derivada enésima de la función $f(x)=e^x+e^{-x}.$

SOLUCIÓN

8  Hallar la derivada enésima de la función $f(x)=\sqrt{x}.$

SOLUCIÓN

9  Hallar la derivada enésima de la función $f:\mathbb{R}-\{-1,0\}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\dfrac{1}{x^3+x^2}.$

SOLUCIÓN
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