Dominio de integridad no euclídeo

Proporcionamos un ejemplo de dominio de integridad que no es euclídeo.

Enunciado
Sea $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]=\{a+b\sqrt{5}i:a,b\in\mathbb{Z}\}$.

1. Probar que con las operaciones usuales suma y producto de números complejos, $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ es un dominio de integridad.
2. Hallar sus unidades.
3. Demostrar que $6$ puede descomponerse en dos formas esencialmente distintas en producto de factores irreducibles de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$. Esto probará que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ es un dominio de integridad no euclídeo.

(Propuesto, hojas de problemas, Álgebra, ETS de Ing. Agrónomos, UPM).

Solución

1. Como $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]\subset \mathbb{C}$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es anillo con las operaciones usuales $+$ y $\cdot$, bastará demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ es subanillo de $\mathbb{C}$. Usamos el conocido teorema de caracterización de subanillos:

(i) $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]\neq \emptyset$. Esto es evidente, pues por ejemplo $0+0\sqrt{5}i\in\mathbb{Z}[i]$. (ii) Para cada par de elementos $a+b\sqrt{5}i$ y $c+d\sqrt{5}i$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]:$

$(a+b\sqrt{5}i)-(c+d\sqrt{5}i)=(a-c)+(b-d)\sqrt{5}i$

Dado que $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $a-c$ y $b-d$ lo cual implica que la diferencia anterior pertenece a $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i].$ (iii) Para cada par de elementos $a+b\sqrt{5}i$ y $c+d\sqrt{5}i$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]:$

$(a+b\sqrt{5}i)(c+d\sqrt{5}i)=(ac-5bd)+(ad+bc)\sqrt{5}i$

Como $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $ac-5bd$ y $ad+bc$ lo cual implica que el producto anterior pertenece a $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i].$ Hemos demostrado pues que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ es anillo con las operaciones usuales suma y producto de complejos. Dado que $\mathbb{C}$ es conmutativo, también lo es $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i].$ Por otra parte $1=1+0i\in\mathbb{Z}[\sqrt{5}i].$ Concluimos que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ es anillo conmutativo y unitario. Como $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es dominio de integridad, también lo es $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ y por tanto es dominio de integridad.

2. Un elemento $a+b\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no nulo es unidad si y sólo si existe un $a’+b’\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no nulo tal que $(a+b\sqrt{5}i)(a’+b’\sqrt{5}i)=1.$ Tomando módulos al cuadrado, obtenemos $(a^2+5b^2)(a’^2+5b’^2)=1.$ Como los dos factores anteriores son enteros positivos, ha de ser necesariamente $a^2+5b^2=1$ o equivalentemente $a=\pm 1\;\wedge\; b=0.$ Es decir, las únicas posibles unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ son $1,-1.$ Pero estos elementos son efectivamente unidades al cumplirse $1\cdot 1=1$, $(-1)\cdot (-1)=1.$

3. Expresemos $6=(a+b\sqrt{5}i)(c+d\sqrt{5}i)$ como producto de dos factores no nulos. Esto equivale a

$\left \{ \begin{matrix} ac-5bd=6\\bc+ad=0\end{matrix}\right.$

Resolviendo en las incógnitas $c,d$ obtenemos

$c=\dfrac{\begin{vmatrix}{6}&{-5b}\\{0}&{\;\;a}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{a}&{-5b}\\{b}&{\;\;a}\end{vmatrix}}=\dfrac{6a}{a^2+5b^2}\;,\;d=\dfrac{\begin{vmatrix}{a}&{6}\\{b}&{0}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{a}&{-5b}\\{b}&{\;\;a}\end{vmatrix}}=\dfrac{-6b}{a^2+5b^2}$

Dando los valores $a=1,b=1$ obtenemos $c=1,d=-1$ y por tanto

$6=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)\quad (1)$

Por otra parte tenemos la factorización

$6=2\cdot 3=(2+0\sqrt{5}i)(3+0\sqrt{5}i)\quad (2)$

Veamos que los elementos $1+\sqrt{5}i,1-\sqrt{5}i,2,3$ son irreducibles. En efecto, si $x+y\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ divide a $1+\sqrt{5}i,$ existe $u+v\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ tal que

$1+\sqrt{5}i=(x+y\sqrt{5}i)(u+v\sqrt{5}i)$

Tomando módulos al cuadrado queda $6=(x^2+5y^2)(u+5v^2)$ lo cual implica que $x^2+5y^2$ ha de dividir a $6.$ Esto ocurre en los casos $x=\pm 1,y=0$ o $x=\pm 1,y=\pm 1$ es decir, los posibles divisores de $1+\sqrt{5}i$ son

$\pm 1,\;\pm (1+\sqrt{5}i),\;\pm (1-\sqrt{5}i)$

Los elementos $\pm 1$ y $\pm (1+\sqrt{5}i)$ claramente dividen a $1+\sqrt{5}i$ pero los primeros son unidades y los segundos sus asociados. Por otra parte, $\pm (1-\sqrt{5}i)$ no dividen a $1+\sqrt{5}i$ pues

$\dfrac{1+\sqrt{5}i}{\pm (1-\sqrt{5}i)}=\pm \dfrac{(1+\sqrt{5}i)(1+\sqrt{5}i)}{(1-\sqrt{5}i)(1+\sqrt{5}i)}=\pm \left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt{5}}{3}i\right)\notin \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$

Hemos demostrado que $1+\sqrt{5}i$ es irreducible. De manera análoga podemos demostrar que $1-\sqrt{5}i,2,3$ también lo son. Debido a las factorizaciones (1) y (2), concluimos que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no es dominio de factorización única, en consecuencia no es dominio euclídeo.

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