Ecuación de Euler

Enunciado
Se llama ecuación de Euler a toda ecuación de la forma $$a_nt^nx^{(n)}+a_{n-1}t^{n-1}x^{(n-1)}+\cdots+a_1tx’+a_0x=0,$$ en donde $a_i$ son números reales con $a_n\neq 0$ y $x$ es función de $t.$

1.  Demostrar que el cambio de variable independiente de $x(t)$ a $x(u)$ definido por $t=\exp u$ transforma la ecuación de Euler $t^2x^{\prime\prime}+atx’+bx=0$ en una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

2.  Como aplicación resolver la ecuación $t^2x^{\prime\prime}+2tx’-2x=0$ con $x(1)=0,$ $x’(1)=1.$

3.  Resolver la ecuación de Euler $t^2x^{\prime\prime}+2tx’-2x=0$ del apartado anterior ensayando soluciones de la forma $x(t)=t^k.$

Solución
1.  El cambio $t=e^u$ equivale a $u=\log t$. Entonces: $$x’(t)=x’(u)\cdot \dfrac{1}{t}=x’(u)e^{-u},$$ $$x^{\prime\prime}(t)=[x^{\prime\prime}(u)e^{-u}+x'(u)(-e^{-u})]\cdot \dfrac{1}{t}=e^{-2u}(x^{\prime\prime}(u)-x’(u)).$$ Sustituyendo en $t^2x^{\prime\prime}+atx’+bx=0$ obtenemos $$x^{\prime\prime}(u)-x’(u)+ax’(u)+bx(u)=0,$$ es decir: $$x^{\prime\prime}(u)+(a-1)x’(u)+bx(u)=0,\qquad (1)$$ que es una ecuación lineal de segundo orden de coeficientes constantes.
Nota.  También se llama ecuación de Euler a toda ecuación de la forma $$a_n(at+b)^nx^{(n)}+a_{n-1}(at+b)t^{n-1}x^{(n-1)}+\cdots+a_1(at+b)x’+a_0x=0.$$ El cambio de variable independiente $at+b=e^u$ transforma la ecuación anterior en una ecuación diferencial lineal de orden $n$ con coeficientes constantes.

2.  La ecuación $(1)$ es: $$x^{\prime\prime}(u)-x’(u)-2x(u)=0.\qquad (2)$$ Su ecuación característica es $\lambda^2+\lambda-2=0$ cuyas raíces son $\lambda=-2$ y $\lambda=1.$ Una base del espacio de las soluciones de la ecuación $(2)$ es $B=\{e^{-2u},e^{u}\}$ con lo cual su solución general es $x(u)=C_1e^{-2u}+C_2e^{u}.$ Expresándola en términos de la variable independiente $t:$ $$x(t)=C_1e^{-2\log t}+C_2e^{\log t}=C_1t^{-2}+C_2t.$$ Derivando obtenemos $x’(t)=-2C_1t^{-3}+C_2$ y las condiciones $x(1)=0,$ $x’(1)=1$ equivalen a $C_1+C_2=0$ y $-2C_1+C_2=1,$ sistema cuya solución es $C_1=-1/3,$ $C_2=1/3$. La solución pedida es por tanto: $$x(t)=\dfrac{t}{3}-\dfrac{1}{3t^2}.$$ 3.  Si $x(t)=t^k,$ entonces $x’(t)=kt^{k-1}$, $x”(t)=k(k-1)t^{k-2}.$ Sustituyendo en la ecuación $t^2x”+2tx’-2x=0$ obtenemos: $$(k(k-1)-2k-2)t^{k+2}=0.$$ Igualando el coeficiente de $t^{k+2}$ a $0$ obtenemos $k^2+k-2=0$ cuyas raíces son $k=-2$ y $k=1.$ Dos soluciones particulares de la ecuación de Euler son por tanto $x_1(t)=t^{-2}$ y $x_2=t$.  Al ser linealmente independientes, determinan la solución general:  $x(t)=C_1t^{-2}+C_2t.$

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