Trayectorias ortogonales y oblicuas

TEORÍA

Enunciado
1.  Determinar las trayectorias ortogonales de:
$(a)$ La familia de parábolas $y=ax^2$.
$(b)$ La familia de circunferencias $x^2+y^2-2ax=0$.
2.  Hallar la familia de trayectorias oblicuas que corta a la familia de rectas $y=ax$ formando un ángulo de $\pi/4$.

Solución
1.  $(a)$ Derivando obtenemos $y’=2ax$ y eliminando $a$ queda la ecuación $y’=2y/x$. Sustituyendo en esta ecuación $y’$ por $-1/y’$ obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales: $-1/y’=2y/x$, o bien $xdx+2ydy=0$. Integrando, obtenemos la familia de elipses: $$x^2+y^2/2=C\quad (C>0).$$ $(b)$ Derivando obtenemos $2x+2yy’-2a=0$. Eliminando $a$ queda la ecuación $y^2-x^2-2xyy’=0$, que es homogénea. Efectuando el cambio $y=vx$, dividiendo entre $x^2$ y ordenando términos la ecuación se transforma en $$\displaystyle\frac{dx}{x}+\displaystyle\frac{2v}{v^2+1}=0.$$ Integrando, $$\log |x|+\log |v^2+1|=K\;,\; \log |x(v^2+1)|=K\;,\;x(v^2+1)=C.$$ Sustituyendo $v=y/x$ obtenemos la familia de circunferencias $$x^2+y^2-Cx=0.$$

2.  Tenemos $m=\tan (\pi/4)=1$. Derivando obtenemos $y’=a$ y eliminando $a$ queda la ecuación $y=y’x$. Sustituyendo en esta ecuación $y’$ por $(y’-1)/(1+y’)$ obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales: $y(1+y’)=(y’-1)x$.

Esta ecuación se puede escribir en la forma $(x+y)dx+(y-x)dx=0$ que es homogénea. Efectuando el cambio $y=vx$, dividiendo entre $x$ y ordenando términos la ecuación se transforma en $$\dfrac{dx}{x}+\dfrac{(v-1)dv}{v^2+1}=0.$$ Integrando obtenemos $\log |x|+(1/2)\log (v^2+1)-\arctan v=\log |C|$ o de forma equivalente $\log C^2x^2(v^2+1)-2\arctan v=0$. Sustituyendo $v=y/x$ obtenemos la familia de las trayectorias oblicuas pedida $$\log C^2(x^2+y^2)-2\arctan \dfrac{y}{x}=0.$$

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