El número e es irracional

En este problema se demuestra la irracionalidad del número e.

Enunciado
Se sabe que número $e$ de Euler se define como el límite: $$e=\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n,$$ y que dicho número se puede expresar como la suma de una serie: $$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}.\qquad (*)$$ 1. Sea $s_n$ la suma parcial enésima de la serie que aparece en $(*).$ Demostrar que $$0<e-s_n< \dfrac{1}{n!\;n}\quad (\forall n\geq 1).$$ 2. Supóngase que $e=p/q$ con $p$ y $q$ enteros positivos. Demostrar que $q!(e-s_q)$ es un número entero.

3. Usando la desigualdad del primer apartado, demostrar que $0<q!(e-s_q)<1.$

4. ¿Qué conclusión se deduce de los dos apartados anteriores?

Solución
1.
La sucesión $s_n$ es de términos positivos y estrictamente creciente, en consecuencia $s_n<e$ para todo $n$ o equivalentemente $0<e-s_n$ para todo $n.$ Por otra parte: $$\displaystyle\begin{aligned}
e-s_n&=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{(n+1)!}+\dfrac{1}{(n+2)!}+\dfrac{1}{(n+3)!}+\ldots\\
&<\dfrac{1}{(n+1)!}\left(1+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\ldots\right).
\end{aligned}$$ Para $n\geq 1$ se verifica $|1/(n+1)|<1$ y por tanto la serie geométrica que aparece es convergente: $$1+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\ldots=\dfrac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\dfrac{n+1}{n}.$$ De esta manera, obtenemos: $$e-s_n<\dfrac{1}{(n+1)!}\;\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{1}{n!\;n}\quad (\forall n\geq 1).\qquad (1)$$ 2. De la hipótesis $e=p/q$ con $p$ y $q$ enteros positivos deducimos que $q!e=q!(p/q)$ es entero. Por otra parte: $$q!s_q=q!\left(1+1+\dfrac{1}{2!}+\ldots+\dfrac{1}{q!}\right).$$ es claramente, un número entero, con lo cual $q!(e-s_q)=q!e-q!s_q$ también es entero.

3. De la igualdad $(1)$ deducimos $$0<q!\;(e-s_q)<\dfrac{1}{q}\leq 1.$$ 4. Si fuera $e=p/q$ con $p$ y $q$ enteros positivos, es decir si $e$ fuera un número racional, se deduciría que el número entero $q!(e-s_q)$ estaría comprendido entre $0$ y $1,$ lo cual es absurdo. Por tanto, $e$ es un número irracional.

Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.