Fórmula de Leibniz de la derivada enésima

Demostramos la  fórmula de Leibniz de la derivada enésima y proprcionamos ejercicioss de aplicación.

TEORÍA

1 Desarrollar la fórmula de Leibniz en el caso $n=4.$

SOLUCIÓN

2  Siendo $f(x)=\sqrt{x}\log (x+1)$ calcular $f^{(4)}(1)$ usando la fórmula de Leibniz.

SOLUCIÓN

3  Siendo $f(x)=e^x\operatorname{sen}x$ calcular $f^{(4)}(\pi/2).$

SOLUCIÓN

4 Usando la fórmula de Leibniz, hallar la derivada enésima de la función $f(x) = e^ {\alpha x} x^2.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar la fórmula de Leibniz en los casos $n=2$ y $n=3.$

SOLUCIÓN

6  Demostrar la fórmula de Leibniz para la derivada enésima del producto:
Sean $u,v:I\to \mathbb{R}$ dos funciones con derivadas hasta orden $n$ en todos los puntos del intervalo $I\subset \mathbb{R}.$ Entonces, se verifica en $I:$ $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)},$$ en donde $u^{(0)}$ denota $u$ y $v^{(0)}$ denota $v.$

SOLUCIÓN

7  Usando la fórmula de Leibniz, calcular $y^{(n)}$ para $y=xe^x.$

SOLUCIÓN

8 Calcular $f^{(2016)}(0)$, siendo $f(x)=x^2\log (x+1)$.

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