Integral de Euler-Poisson

Enunciado
Este problema tiene por objeto desarrollar una demostración de la conocida fórmula:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\sqrt[]{\pi}.\quad (*)$

a) Se considera la función $f$ definida para cada $x\geq 0$ mediante

$f(x)=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\;dt.$

Calcular $f(0)$ y determinar $\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}$.

b) Obtener una expresión de la derivada de la función $f$ en terminos de $g$ y $g’$, estando $g$ definida por:

$g(x)=\displaystyle\int_0^{\;\sqrt[]{x}}e^{-t^2}\;dt.$

c) Justificar utilizando los dos apartados anteriores la validez de la fórmula $(*)$.

(Propuesto en examen de Amp. de Cálculo, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
a) Hallemos $f(0)$ :

$f(0)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{dt}{1+t^2}=\left[\arctan t\right]_0^1=\arctan 1-\arctan0=\pi/4-0=\pi/4.$

Para todo $x,t\in \mathbb{R}$ se verifica $e^{-x(1+t^2)}/(1+t^2)> 0$, por tanto $f(x)\geq 0$. Por otra parte para $x\geq 0$ y $t\in [0,1]$ tenemos $x\leq x(t^2+1)$, es decir $e^{-x(t^2+1)}\leq e^{-x}$. Queda:

$0\leq f(x)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{-x(t^2+1)}}{1+t^2}dt\leq \displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{-x}}{1+t^2}dt=e^{-x}\displaystyle\int_0^1\dfrac{dt}{1+t^2}dt=\dfrac{\pi e^{-x}}{4}.$

Como $\lim_{x \to{+}\infty}{\pi e^{-x}/4}=0$, se concluye $\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=0$.

b) Usando el conocido teorema de la derivación bajo el signo integral:

$f’(x)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{ -(1+t^2) e^{-x(1+t^2)} }{ 1+t^2 }\;dt=-\displaystyle\int_0^1e^{-x(1+t^2)}\;dt=-e^{-x}\displaystyle\int_0^1e^{-xt^2}\;dt.$

Derivemos $g(x)$ usando el teorema fundamental del Cálculo:

$g’(x)=e^{-x}\cdot{ \dfrac{1}{2\;\sqrt[]{x}} }-0=\dfrac{e^{-x}}{2\;\sqrt[]{x}}.$

Efectuando ahora el cambio $t=u/\sqrt{x}$ tenemos $dt=du/\sqrt{x}$ y por tanto:

$\displaystyle\int_0^1e^{-xt^2}\;dt=\displaystyle\int_0^{\;\sqrt[]{x}}\dfrac{e^{-u^2} }{\sqrt[]{x}}\;du=\dfrac{g(x)}{\sqrt[]{x}}.$

Esto nos permite encontrar la expresión pedida:

$f’(x)=-e^{-x}\cdot \dfrac{g(x)}{\sqrt{x}}=-2g’(x)g(x).$

c) Integrando ambos miembros de la igualdad anterior obtenemos $f(x)=-g^2(x)+C$. Para $x=0$ obtenemos $f(0)=-g^2(0)+C$ o bien $\pi/4=0+C$. Es decir, tenemos $f(x)=\pi/4-g^2(x)$ o bien $g(x)=\sqrt{\pi/4-f(x)}$. Teniendo en cuenta el apartado a) queda:

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt{\dfrac{\pi}{4}-f(x)}}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.$

Teniendo en cuenta que $h(t)=e^{-t^2}$ es par, obtenemos la fórmula de Euler-Poisson :

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\sqrt[]{\pi}.$

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