Aplicaciones geométricas de la derivada

Proporcionamos ejercicios sobre aplicaciones geométricas de la derivada.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva $y=x^3-x^2+2x+3$ en el punto de abscisa $x=0.$
  2. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva $y=\cos x$ en el punto de abscisa $x=\pi.$
  3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la catenaria $y=\cosh (x/2),$ en el punto de abscisa $x=2\log 2.$
  4. Calcular el ángulo que forman las curvas $y=f(x)$ e $y=g(x),$ siendo $f(x)=x^3$, $g(x)=1/x^2.$
    Solución
  1. Tenemos $y(1)=5.$ Derivando, $y’=3x^2-2x+2$ con lo cual $y’(1)=3.$ La ecuación de la recta tangente es por tanto $y-5=3(x-1),$ o bien $3x-y+2=0.$ La ecuación de la recta normal es $y-5=(-1/3)(x-1),$ o bien $x+3y-16=0.$
  2. Tenemos $y(\pi)=-1.$ Derivando, $y’=\operatorname{sen}x$ con lo cual $y’(\pi)=0.$ La ecuación de la recta tangente es por tanto $y=-1,$ y la de la normal $x=\pi.$
  3. Tenemos $$y(2\log 2)=\dfrac{e^{\log 2}+e^{-\log 2}}{2}=\dfrac{2+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{5}{4}.$$ Derivando, $y’=(1/2)\operatorname{senh}(x/2),$ con lo cual $$y’(2\log 2)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e^{\log 2}-e^{-\log 2}}{2}=\dfrac{2-\dfrac{1}{2}}{4}=\dfrac{3}{8}.$$ La ecuación de la recta tangente es por tanto $$y-\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{8}(x-2\log 2),\text{ o bien }3x-8y+10-6\log 2=0.$$ La ecuación de la recta normal es $$y-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{8}{3}(x-2\log 2),\text{ o bien }32x-12y-15-64\log 2=0.$$
  4. Hallemos los puntos de corte. Para $x\neq 0:$ $$x^3=\dfrac{1}{x^2}\Leftrightarrow x^5=1\Leftrightarrow x=1.$$ Las derivadas son $f’(x)=3x^2$ y $g’(x)=-2/x^3$, con lo cual $f’(1)=3$ y $g’(1)=-2.$ El ángulo $\alpha$ que forman las curvas en el punto de abscisa $x=1$ es por tanto: $$\alpha=\arctan \left|\dfrac{3+2}{1+3\cdot (-2)}\right|=\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}.$$
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