Convergencia uniforme en un intervalo no acotado

Enunciado
Para cada $n=1,2,\ldots$ se define el subconjunto $A_n$ de $\mathbb{R}:$

$A_n=\left \{ \begin{matrix}(n,n^2) & \mbox{ si }& n\mbox{ par}\\ [-2n^2,-1/n] & \mbox{si}& n\mbox{ impar}.\end{matrix}\right.$

y la función $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:$

$f_n(x)=\left \{ \begin{matrix}0&\mbox { si }& x\not\in A_n\\\dfrac{1}{n^2-n} & \mbox{si}& x\in A_n\mbox{ y }n\mbox{ par}\\\dfrac{n}{2n^3-1} & \mbox{si}& x\in A_n\mbox{ y }n\mbox{ impar}.\end{matrix}\right.$

1. Determinar el conjunto $A=\bigcup_{n\geq 1}A_n.$
2. Determinar el menor conjunto compacto que contiene a $\mathbb{R}-A.$
3. Determinar del dominio de convergencia puntual de la sucesión $(f_n)$ y su límite $f.$
4. Estudiar si la convergencia $f_n\to f$ es uniforme.
5. Estudiar si se verifica la igualdad:

$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\;dx=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(x)\;dx.$

Solución
1. La unión correspondiente a los $A_n$ con $n$ par es:

$A_2\cup A_4\cup A_6\cup \ldots=(2,4)\cup (4,16)\cup (6,36)\cup \ldots$

Si $n\geq 4$ se verifica $n+2<n^2$ y por tanto, $$(n,n^2)\cup (n+2,(n+2)^2)=(n,(n+2)^2)$$ lo cual implica que $A_2\cup A_4\cup A_6\cup \ldots=(2,4)\cup (4,+\infty).$ Por otra parte, si $n\to +\infty,$ entonces $-2n^2\to -\infty$ y $-1/n\to 0,$ en consecuencia, $$A_1\cup A_3\cup A_5\cup \ldots=(-\infty,0)..$$ Es decir, $A=(-\infty,0)\cup (2,4)\cup (4,+\infty).$

2. El conjunto $\mathbb{R}-A$ es igual a $[0,2]\cup\{4\}$ que es cerrado y por tanto, compacto. En consecuencia el menor conjunto compacto que contiene a $\mathbb{R}-A,$ es el propio $\mathbb{R}-A.$

3. Si $x\in [0,2]\cup\{4\},$ $f_n(x)=0$ para todo $n,$ por tanto $f(x)=\lim_{n\to +\infty} f_n(x)=0.$ Si $x\in (0,+\infty)$ entonces $x$ pertenece un $A_{n_0}$ con $n_0$ impar, ahora bien para todo $n$ impar se verifica $A_n=[-2n^2,-1/n]\subset [-2(n+2)^2,-1/(n+2)^2]=A_{n+2},$ lo cual implica que si $n\geq n_0,$ entonces $x\in A_n$ si $n$ impar y $x\not\in A_n$ si $n$ par al ser $x<0.$ En consecuencia, para $x\in(0,+\infty)$ y $n\geq n_0$ tenemos:

$f_n(x)=\left \{ \begin{matrix}0&\mbox { si }& n\mbox{ par}\\\dfrac{n}{2n^3-1} & \mbox{si}& n\mbox{ impar}\end{matrix}\right.$

de lo cual se deduce $f(x)=\lim_{n\to +\infty} f_n(x)=0.$ Por último, si $x\in (2,4)\cup (4,+\infty),$ entonces existe un $n_0$ natural tal que $x\not\in A_n$ si $n\geq n_0,$ luego $f_n(x)=0$ si $n\geq n_0.$ También en este caso $f(x)=\lim_{n\to +\infty} f_n(x)=0.$ Podemos pues concluir que la función límite puntual está definida en todos los reales, siendo éste límite la función nula.

4. Veamos si la convergencia es uniforme. Se verifica:

$\left|f_n(x)-f(x)\right|\leq \max \left\{ 0,\dfrac{1}{n^2-n}, \dfrac{n}{2n^3-1}\right\}=M_n\;\;\forall x\in\mathbb{R}.$

y además $M_n\to 0.$ Por tanto, para todo $\epsilon >0$ existe un $n_0$ natural tal que $M_n<\epsilon$ si $n\geq n_0.$ Esto implica $\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon$ si $n\geq n_0$ y para todo $x\in\mathbb{R}:$ la convergencia es uniforme.

5. Para $n$ par,

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\;dx=\displaystyle\int_{n}^{n^2}\dfrac{1}{n^2-n}\;dx=\dfrac{1}{n^2-n}(n^2-n)=1.$

para $n$ impar,

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\;dx=\displaystyle\int_{-2n^2}^{-1/n}\dfrac{n}{2n^3-1}\;dx=\dfrac{n}{2n^3-1}\left(2n^2-\dfrac{1}{n}\right)=1.$

En consecuencia, no se verifica la igualdad dada pues:

$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\;dx=1\;,\quad \displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(x)\;dx=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}0\;dx=0.$

Nota: obsérvese que aunque la convergencia en $I=(-\infty,+\infty)$ es uniforme, los símbolos límite e integral no son intercambiables. Esto es debido a que el intervalo $I$ no es acotado.

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