Función armónica conjugada

Calculamos la armónica conjugada de una función.

Enunciado
Comprobar que la función $u=3x^2y+2x^2-y^3-2y^2$ es armónica en $\mathbb{R}^2$ y determinar su armónica conjugada $v$ para expresar $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ como función holomorfa de $z$ en $\mathbb{C}$.

Solución
Claramente $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$. Tenemos $$u_x=6xy+4x,\;u_y=3x^2-3y^2-4y,\;u_{xx}=6y+4,\;u_{yy}=-6y-4.$$ Es decir, $\nabla^2u=u_{xx}+u_{yy}=0$ en $\mathbb{R}^2$ y por tanto $u$ es armónica en el plano. Si la función $f=u+iv$ es holomorfa, se han de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann $u_x=v_y,\;u_y=-v_x$. De la primera ecuación deducimos: $$v=\displaystyle\int u_xdy=\displaystyle\int (6xy+4x)dy=3xy^2+4xy+\varphi (x).$$ De la segunda: $$3x^2-3y^2-4y=-(3y^2+4y+\varphi’(x))\Rightarrow \varphi’(x)=-3x^2 \Rightarrow \varphi(x)=-x^3+C.$$ La función pedida es por tanto: $$f(z)=3x^2y+2x^2-y^3-2y^2+i(3xy^2+4xy-x^3+C).$$ Para expresar $f(z)$ en términos de $z$ usamos el método de Milne- Thompson. Para $y=0$ obtenemos $f(x)=2x^2-i(x^3+C)$ y la función pedida se puede expresar en la forma $f(z)=2z^2-iz^3-iC$ o bien $$f(z)=2z^2-iz^3+K\;,\;\; (K\in\mathbb{C}).$$

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