Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral

Enunciado
Este problema tiene por objeto elaborar una representación integral para el polinomio de Lagrange-Sylvester. Supóngase dados un polinomio $p(z)$ de grado $n\geq 1$ y una curva de Jordan $\Gamma,$ que se recorre en sentido positivo y cuyo interior geométrico contiene a todos los ceros del polinomio. Se pide:

(a) Comprobar que cualquiera que sea la función $f(z)$ holomorfa en los puntos de $\Gamma$ y en su interior, la función definida mediante

$\varphi (z)=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{p(\xi)}\cdot \dfrac{p(\xi)-p(z)}{\xi -z}\;d\xi$

es un polinomio en $z$ cuyo grado se determinará.

(b) Supóngase que $a$ es un cero del polinomio $p(z).$ Determinar el valor de la función $\varphi(z)$ en $a.$

(c) Supóngase que $a$ es un cero del polinomio $p(z)$ de multiplicidad $\nu.$ Determinar los valores que toman en el punto $a$ las funciones derivadas $\varphi^{(k)}$ para $k=1,2,\ldots,\nu -1.$

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Sea $p(z)=a_nz^n+\ldots +a_1z+a_0,$ entonces podemos expresar $p(\xi)-p(z)$ en la forma $a_n(\xi^n-z^n)+\ldots+a_1(\xi -z).$ Por otra parte:

$\xi^k-z^k=(\xi -z)(\xi^{k-1}+\xi^{k-2}z+\ldots +\xi z^{k-2}+z^{k-1})$

con lo cual obtenemos la igualdad:

$p(\xi)-p(z)=(\xi-z)(b_{n-1}(\xi)z^{n-1}+\ldots+b_0(\xi))=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}b_k(\xi)z^k$

siendo $b_k(\xi)$ polinomios en $\xi$ para todo $k=0,1,\ldots,n-1.$ Podemos por tanto expresar:

$\varphi (z)=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{p(\xi)}\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}b_k(\xi)z^k\;d\xi=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{p(\xi)}\cdot b_k(\xi)\;d\xi\right)z^k.$

Es decir, $\varphi (z)$ es un polinomio de grado menor o igual que $n-1.$

(b) Usando que $p(a)=0$ y la fórmula integral de Cauchy:

$\varphi (a)=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{p(\xi)}\cdot \dfrac{p(\xi)}{\xi -z}\;d\xi=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{\xi -z}\;d\xi=f(a).$

(c) Podemos expresar la función $\varphi (z)$ de la siguiente manera:

$\varphi (z)=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{\xi -z}\;d\xi-\dfrac{1}{2\pi i}\;p(z)\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{p(\xi)}\cdot \dfrac{1}{\xi -z}\;d\xi.$

Usando de nuevo la fórmula integral de Cauchy con $z$ en el interior de $\Gamma:$

$\varphi (z)=f(z)-p(z)\left(\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\Gamma}\dfrac{f(\xi)}{p(\xi)}\cdot \dfrac{1}{\xi -z}\;d\xi\right)=f(z)-p(z)g(z).$

Derivemos ambos miembros de la igualdad $\varphi (z)=f(z)-p(z)g(z).$ Usando la regla de Newton-Leibniz para la derivada $k$-ésima de un producto:

$\varphi^{(k)}(z)=f^{(k)}(z)-\displaystyle\sum_{j=0}^{k}\displaystyle\binom{k}{j}p^{(k-j)}(z)\;g^{(j)}(z). \qquad (1)$

Como $a$ es un cero de multiplicidad $\nu$ del polinomio $p(z),$ se verifica

$p(a)=p’(a)=\ldots=p^{(\nu-1)}(a)=0.$

Usando $(1)$ deducimos $\varphi^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)$ para todo $k=1,2,\ldots,\nu -1.$

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