Aplicaciones físicas de la derivada

Proporcionamos ejercicios de aplicaciones físicas de la derivada.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. El espacio $s$ recorrido en función del tiempo $t$ está definido por la ecuación $s=t\log (t+1)$ ($t$ es segundos y $s$ en metros). Hallar la velocidad del movimiento cuando han transcurrido dos segundos.
  2. Por el eje $OX$ se mueven dos puntos que tienen respectivamente las leyes de movimiento $$x=100+5t,\quad x=\dfrac{1}{2}t^2,$$ donde $t\geq 0.$ ¿ Con qué velocidad se alejaran estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro ($x$ se da en centímetros y $t$ en segundos)?
  3. Un punto se mueve sobre la hipérbola $y=\dfrac{10}{x}$ de tal manera, que su abscisa $x$ aumenta uniformemente con la velocidad de una unidad por segundo. ¿ Con qué velocidad variará su ordenada cuando el punto pase por la posición $(5,2)$?
    Solución
  1. Derivando: $s’=\log (t+1)+\dfrac{t}{t+1}.$ La velocidad en $t=2\text{s}$ es: $$s’(2)=\log 3+\dfrac{2}{3}\approx 1.76\text{ m/s}.$$
  2. En el momento de su encuentro, coinciden los espacios: $$\dfrac{1}{2}t^2=100+5t\Leftrightarrow t^2-10t-200=0,$$ $$t=\dfrac{10\pm\sqrt{900}}{2}=\dfrac{10\pm 30}{2}=\{20,-10\}.$$ Por hipótesis, $t\geq 0$ y por tanto los móviles se encuentran en el instante $t=20$. Las funciones velocidades son $x’=5$ para el primer móvil y $x’=t$ para el segundo, y para $t=2,$ $x’(2)=5$ y $x’(2)=20.$ Los móviles se alejan el uno del otro con una velocidad de $20-5=15$ (cm/s).
  3. Que la velocidad de la abscisa $x$ sea constante e igual a $1$ significa que $x=t$ ($t$ tiempo). La ley de movimiento de la ordenada es por tanto $y=\dfrac{10}{t}$ y su velocidad, $y’=-\dfrac{10}{t^2}$. Entonces, $y’(5)=-\dfrac{10}{24}=-0.4,$ es decir decrece con una velocidad de $0.4.$
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