Flujo y circulación de un campo

Enunciado
Se considera el campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ definido por $\overrightarrow{F}(\vec{r})=(\vec{a}\cdot \vec{r})^{10}\vec{r}$ en donde $\vec{a}$ es un vector fijo y no nulo de $\mathbb{R}^3$ y $\vec{r}$ es el vector de posición. Se pide:

a) Calcular la divergencia y rotacional del campo $\overrightarrow{F}.$ Determinar si existen vectores $\vec{a}$ no nulos para los cuales el campo $\overrightarrow{F}$ es conservativo.
b) Calcular el flujo del campo $\overrightarrow{F}$ sobre la cara exterior de la esfera unidad $x^2+y^2+z^2=1.$
c) Calcular la circulación del campo $\overrightarrow{F}$ sobre cualquier curva cerrada situada sobre la esfera unidad.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
aLlamando $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\;\vec{r}=(x,y,z)$ y $\overrightarrow{F}=(F_1,F_2,F_3),$ la primera componente del campo es $F_1=(a_1x+a_2y+a_3z)^{10}x$ con lo cual
$$\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial x}}=10\;(a_1x+a_2y+a_3z)^{9}a_1x+(a_1x+a_2y+a_3z)^{10}\cdot 1$$ $$=10 \;(\vec{a}\cdot \vec{r})^9a_1x+(\vec{a}\cdot \vec{r})^{10}=(\vec{a}\cdot \vec{r})^9(10\;a_1x+\vec{a}\cdot \vec{r}).$$ Procediendo de manera análoga con las otras dos componentes: $$\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial y}}=(\vec{a}\cdot \vec{r})^9(10\;a_2y+\vec{a}\cdot \vec{r})\;,\quad \dfrac{{\partial F_3}}{{\partial z}}=(\vec{a}\cdot \vec{r})^9(10\;a_3z+\vec{a}\cdot \vec{r}).$$ La divergencia de $\overrightarrow{F}$ es por tanto $$\mbox{div}\overrightarrow{F}=\dfrac{{\partial F_1}}{{\partial x}}+\dfrac{{\partial F_2}}{{\partial y}}+\dfrac{{\partial F_3}}{{\partial z}}=(\vec{a}\cdot \vec{r})^9(10\;\vec{a}\cdot \vec{r}+3\;\vec{a}\cdot \vec{r})=13\;(\vec{a}\cdot \vec{r})^{10}.$$ Sean  $f(\vec{r})=(a\cdot \vec{r})^{10}$ y $\overrightarrow{G}=\vec{r}.$ Entonces $$\nabla f=\left(f_x,f_y,f_z\right)=\left(10(a\cdot \vec{r})^{9}a_1,10(a\cdot \vec{r})^{9}a_2,10(a\cdot \vec{r})^{9}a_3\right)=10(a\cdot \vec{r})^{9}\vec{a}.$$ Dado que $\mbox{rot  }\overrightarrow{G}=\vec{0},$ usando una conocida propiedad: $$\mbox{rot }\overrightarrow{F}=\mbox{rot }(f\overrightarrow{G})=f\mbox{rot }\overrightarrow{G}+\nabla f\times\overrightarrow{G}=\nabla f\times\overrightarrow{G}$$ $$=\left(10\;(a\cdot \vec{r})^{9}\vec{a}\right)\times \vec{r}=10\;(a\cdot \vec{r})^{9}(\vec{a}\times \vec{r}).$$ El vector $\vec{a}$ es no nulo por hipótesis. Eligiendo un vector $\vec{b}\neq \vec{0}$ no perpendicular al vector $\vec{a}$ con $\{\vec{a},\vec{b}\}$ linealmente independientes, se verifica $\vec{a}\cdot \vec{b}\neq 0$ y $\vec{a}\times \vec{b}\neq \vec{0},$ es decir $(\mbox{rot}\overrightarrow{F})(\vec{b})\neq \vec{0}.$ Por tanto, no existen vectores $\vec{a}$ no nulos tales que $\overrightarrow{F}$ es conservativo.

b)  Para calcular el flujo $\Phi$ pedido sobre la cara exterior de la esfera $E,$ aplicaremos el teorema de la divergencia, es decir: $$\Phi=\displaystyle\iint_{E^+} \overrightarrow{F}\cdot \vec{n}\;dS=\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1}\mbox{div}\overrightarrow{F}\;dxdydz.$$ Para simplificar la expresión del campo $\mbox{div}\overrightarrow{F}$ vamos a girar la base $\mathcal{B}=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$ para obtener la base ortonormal $\mathcal{B}’=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ de tal manera que $\vec{w}=\vec{a}/|\vec{a}|.$ Llamando $(u,v,w)$ a las coordenadas de $\vec{r}$ en la base $\mathcal{B}’,$ tenemos: $$\vec{a}\cdot \vec{r}=(0,0,|\vec{a}|)\cdot (u,v,w)=|\vec{a}|w\Rightarrow (\mbox{div}\overrightarrow{F})(u,v,w)=13|\vec{a}|^{10}w^{10}.$$ Dado que hemos realizado un giro, la relación entre las coordenadas en las bases es $$\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}=P\;\begin{bmatrix}{u}\\{v}\\{w}\end{bmatrix}\quad (P \mbox{ ortogonal y }\det P=1).$$ El jacobiano de la transformación es $$J=\begin{vmatrix}{x_u}&{x_v}&{x_w}\\{y_u}&{y_v}&{y_w}\\{z_u}&{z_v}&{z_w}\end{vmatrix}=\det P=1.$$ Usando la fórmula del cambio de variables para integrales triples: $$\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1}\mbox{div}\overrightarrow{F}\;dxdydz=13|\vec{a}|^{10}\displaystyle\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}w^{10}\;dudvdw.$$ Usando coordenadas esféricas $(\alpha,\beta,\rho):$ $$\displaystyle\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}w^{10}\;dudvdw=\displaystyle\int_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int_0^{\pi}\cos^{10}\beta\sin \beta\; d\beta \displaystyle\int_0^{1}\rho^{12} \;d\rho$$ $$=\dfrac{2\pi}{13}\left[ -\dfrac{\cos^{11}\beta}{11}\right]_0^{\pi}=\dfrac{2\pi}{13}\cdot\dfrac{2}{11}\Rightarrow \Phi=13|\vec{a}|^{10}\cdot \dfrac{2\pi}{13}\cdot\dfrac{2}{11}=\dfrac{4\pi |\vec{a}|^{10}}{11}.$$

c)  Sea $\gamma$ una curva cerrada situada sobre la esfera unidad, y sea $\Gamma$ la porción de superficie que limita la esfera unidad. Aplicando los teoremas de Stokes y de la divergencia, obtenemos la circulación de $\overrightarrow{F}$: $$\displaystyle\int_{\gamma}\overrightarrow{F}\cdot d\vec{r}=\displaystyle\iint_{\Gamma}\mbox{rot } (\overrightarrow{F})\cdot \vec{n}\;dS=\displaystyle\iiint_{T}\mbox{div }(\mbox{rot } \overrightarrow{F})\;dV=\displaystyle\iiint_{T}0\;dV=0.$$

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