Función holomorfa: representación integral

Enunciado
Se considera la función compleja definida mediante la representación integral

$f(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt^2}\;dt.$

(a) Comprobar que la función está bien definida en el semiplano de los números complejos con parte real estrictamente positiva y calcular el valor $f(z)$ cuando $z$ es un número real positivo.

(b) Aceptando que la función $f$ es holomorfa en ese semiplano, determinar el valor de la integral $$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos t^2\;dt.$$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Sea $z=x+iy$ con $x,y\in\mathbb{R}.$ Entonces,

$$e^{-zt^2}=e^{-(x+iy)t^2}=e^{-xt^2}e^{-iyt^2}=e^{-xt^2}[\cos (-yt^2)+i\sin (-yt^2)]$$ $$=
e^{-xt^2}\cos (yt^2)-ie^{-xt^2}\sin (yt^2).$$

Por otra parte, $|e^{-xt^2}\cos (yt^2)|\leq e^{-xt^2}$ y $|e^{-xt^2}\sin (yt^2)|\leq e^{-xt^2}$ lo cual implica que si la integral $\int_0^{+\infty}e^{-xt^2}\;dt$ es convergente para $x>0$ también son convergentes

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt^2}\cos (yt^2)\;dt\mbox{ y } \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt^2}\sin (yt^2)\;dt.\quad (1)$

Efectuando el cambio $u=\sqrt{x}t$ y usando la integral de Euler

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt^2}\;dt=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\;\dfrac{1}{\sqrt{x}}\;du=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}.$

Al ser convergentes las integrales que aparecen en (1), lo es la integral $\int_0^{+\infty}e^{-zt^2}\;dt$, es decir $f(z)$ está bien definida en $\textrm{Re}\;z>0.$

(b) Llamemos $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos t^2\;dt$ y $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\sin t^2\;dt.$ Entonces,

$$K=I-iJ=\displaystyle\int_0^{+\infty}(e^{-t^2}\cos t^2-ie^{-t^2}\sin t^2)\;dt$$ $$=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}[\cos (-t^2)+i\sin (-t^2)]\;dt$$ $$=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2-it^2}\;dt=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-(1+i)t^2}\;dt=f(1+i).$$

Por el apartado anterior, $f(x)=\sqrt{\pi}/(2\sqrt{x})$ en el intervalo $(0,+\infty).$ Usando el principio de identidad de las funciones holomorfas (según el enunciado podemos aceptar que $f$ lo es), $f(z)=\sqrt{\pi}/(2\sqrt{z})$ en $\textrm{Re}\;z>0.$ Por tanto,

$$K=I-iJ=f(1+i)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{1+i}}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt[4]{2}\;e^{\pi i/8}}$$ $$=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt[4]{2}}\;e^{-\pi i/8}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt[4]{2}}\left(\cos \dfrac{\pi}{8}-i\sin \dfrac{\pi}{8}\right).$$

Igualando partes reales queda

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos t^2\;dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt[4]{2}}\cos \dfrac{\pi}{8}.$[

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