Integral doble impropia por un cambio ortogonal

Enunciado
Calcular $$I(a,b)=\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(ax^2+2bxy+cy^2)}\;dxdy\quad(a>0\;,\;ac-b^2>0).$$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Consideremos la forma cuadrática

$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=(x,y)\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}.$

De las condiciones $a>0,ac-b^2>0$ deducimos que $q$ es definida positiva. Como consecuencia del teorema espectral, existe una matriz $P$ ortogonal tal que el cambio de coordenadas $(x,y)^t=P(u,v)^t$ permite expresar la forma cuadrática de la siguiente manera:

$q(u,v)=(u,v)\begin{pmatrix}{\lambda}&{0}\\{0}&{\mu}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{u}\\{v}\end{pmatrix}=\lambda u^2+\mu v^2\quad (\lambda>0,\mu>0).$

siendo $\lambda,\mu$ los valores propios de la matriz de la forma cuadrática. Además, podemos elegir $P$ de tal manera que represente un giro, y por tanto $\det(P)=1$. Por otra parte y dado que la transformación es de la forma:

$\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{p_{11}}&{p_{12}}\\{p_{21}}&{p_{22}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{u}\\{v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{p_{11}u}+p_{12}v\\{p_{21}u+p_{22}v}\end{pmatrix}.$

el correspondiente jacobiano es:

$J=\dfrac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\det \begin{pmatrix}{\dfrac{{\partial x}}{{\partial u}}}&{\dfrac{{\partial x}}{{\partial v}}}\\{\dfrac{{\partial y}}{{\partial u}}}&{\dfrac{{\partial y}}{{\partial v}}}\end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix}{p_{11}}&{p_{12}}\\{p_{21}}&{p_{22}}\end{pmatrix}=1.$

Aplicando el conocido teorema de cambio de variable para integrales dobles:

$I(a,b)=\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(ax^2+2bxy+cy^2)}\;dxdy=\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(\lambda u^2+\mu v^2)}\;dudv=\\\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\sqrt {\lambda}u)^2}du\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\sqrt {\mu}v)^2}dv.$

Haciendo el cambio $s=\sqrt{\lambda}u$ y usando $\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}/2$ obtenemos:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\sqrt {\lambda}u)^2}du=2\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-(\sqrt {\lambda}u)^2}du=\dfrac{2}{\sqrt{\lambda}}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-s^2}ds=\dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\lambda}}.$

Análogamente $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\sqrt {\mu}v)^2}dv=\sqrt{\pi}/\sqrt{\mu}$. En consecuencia $I(a,b)=\pi/\sqrt{\lambda\mu}$. Por otra parte sabemos que el producto de los valores propios de una matriz es igual al determinante de la matriz. En nuestro caso $\lambda \mu=\sqrt{ac-b^2}$. Queda por tanto:

$I(a,b)=\dfrac{\pi}{\sqrt{ac-b^2}}.$

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